§ 4. Собственные значения и собственные функции оператора количества движения

Мы установили на основании аналогии с классической механикой, что операторы для прямоугольных составляющих количества движения имеют вид

Найдем собственные значения и функции этих операторов. Если мы обозначим через собственные значения то уравнения для собственных функций напишутся

Решение первого из этих уравнений есть

где не зависит от х. Чтобы это решение оставалось конечным при всех значениях х, необходимо и достаточно, чтобы было вещественным числом. Таким образом, собственные значения оператора образуют сплошной спектр в промежутке от

до Аналогично напишутся решения остальных двух уравнений

Легко видеть, что три уравнения (2) имеют общее решение

где причем с есть постоянная, которая может, впрочем, зависеть от Значение этой постоянной мы определим из условия нормировки. Для этого рассмотрим сперва одномерную задачу и положим

Условие нормировки в этом случае будет [см. гл. II, § 7, формула (20)]

где

В данном простом примере можно удовлетворить условию нормировки, считая, что с не зависит от Мы имеем

Далее,

ибо, как известно,

Условие (6) дает теперь

где а — вещественная постоянная, которую мы можем положить равной нулю.

Таким образом, нормированная функция будет

Разложение произвольной функции по собственным функциям оператора напишется, согласно формулам (21) § 8 гл. II,

где

Эти формулы представляют собой интегральную теорему Фурье.

Переходя к случаю трех переменных, мы должны будем написать условие нормировки в виде

где

Условие (14) будет, очевидно, выполнено, если

Разложение произвольной функции от трех координат напишется теперь в виде тройного интеграла.