§ 3. Решение одной вспомогательной задачи
На основании результатов общего исследования уравнения для радиальных функций (§ 7 гл. IV), мы знаем, что отрицательным значениям параметра 
соответствует точечный, а положительным — сплошной спектр. Для исследования точечного спектра мы введем в качестве независимой переменной величину 
и положим
Величина X будет, очевидно, вещественной; мы будем считать ее положительной. Переменная х будет также вещественной, и пределы ее изменения будут те же, что для 
а именно, 
Уравнение (10) § 2 напишется теперь
или
В левой части этого уравнения стоит самосопряженный оператор, а X играет роль параметра. Подстановкой (1) и (2) мы как бы исключили сплошной спектр и привели решение уравнения (10) для точечного спектра к решению некоторой вспомогательной задачи, а именно, к нахождению собственных значений и функций оператора (3.
Исследуем характер решения уравнения (3) при малых и при больших значениях х. Мы могли бы воспользоваться здесь результатами § 7 гл. IV, но проще повторить наши рассуждения применительно к уравнению (3).
Для малых х полагаем
и получаем для а два значения
Для больших х полагаем
и получаем для 
два значения
и
Отсюда заключаем, что искомое решение должно быть при малых х вида
и при больших 
вида
Поэтому, если мы положим
то функция 
должна удовлетворять условиям 
конечна при 
Уравнение (3) для у приводит к следующему уравнению для 
Это уравнение можно решить двумя способами: при помощи рядов и при помощи определенных интегралов. Мы применим здесь первый способ, а аналогичное уравнение для сплошного спектра будем решать по второму способу.
Будем искать решения уравнения (12) в виде ряда
Подставляя этот ряд в уравнение и приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получим ряд равенств вида
которые служат для последовательного определения коэффициентов.
Коэффициент 
остается произвольным, а остальные выражаются через него:
Поэтому, если мы обозначим через 
обобщенный гипергеометрический ряд, составленный по закону
мы можем написать
Здесь возможны два случая. Если
то коэффициент 
и все последующие будут равны нулю, так что ряд обрывается и для 
получается не бесконечный ряд, а полином. Если условие (18) не соблюдается, то ряд продолжается до бесконечности, причем он будет всегда сходящимся, так как отношение двух последовательных членов
при 
-уоо стремится к нулю при всяком х. Но из той же формулы (19) видно, что все члены ряда, начиная с некоторого, будут одного знака; следовательно, его сумма, при 
будет возрастать быстрее всякой конечной степени х, так что условие (11) не будет выполняться. Поэтому второй случай отпадает, и мы должны иметь
Таким образом, единственными решениями уравнения (12), удовлетворяющими поставленным условиям, являются полиномы
или в раскрытом виде
Если мы положим здесь
то соответствующие функции 
которые мы обозначим через 
будут полиномами не только относительно х, но и относительно 
или
Эти полиномы можно назвать обобщенными полиномами Лагерра (Laguerre), обыкновенные полиномы Лагерра представляют их частный случай (при 
