Глава II. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 1. Постановка задачи

Решения уравнения Шредингера и нахождение собственных функций оператора энергии, а также других операторов может быть выполнено точно лишь в простейших случаях. Приближенное решение некоторых более сложных задач (задачи многих тел) требует применения существенно новых методов, например, вариационного начала. Многоэлектронная задача будет рассмотрена в части IV этой книги. Здесь мы рассмотрим тот случай, когда решение предложенной задачи может быть разбито на два шага. Первый шаг состоит в упрощении данной задачи и в точном решении упрощенной задачи. Второй шаг состоит в вычислении поправок, позволяющих приближенно учесть влияние малых членов, отброшенных при упрощении.

Существует общий метод для вычисления поправок, который носит название теории возмущений. Изложением его мы и займемся в этой главе.

Положим, мы имеем оператор (будем считать для определенности, что это есть оператор энергии), который может быть представлен в виде суммы двух членов

Первый член, есть оператор невозмущенной (т. е. упрощенной) задачи, а второй член, представляет поправку (возмущение), которую будем считать «малой»; для удобства мы написали поправочный член в виде произведения малого параметра на оператор Возмущение мы будем предполагать таким, что при уменьшении параметра до нуля как собственные функции, так и собственные значения оператора непрерывным образом переходят в собственные функции и значения оператора

В некоторых случаях это условие не соблюдается, и возмущение меняет самый характер решения, например вводит

сплошной спектр. Формальное решение, получаемое по способам теории возмущений, имеет, однако, физический смысл и в этих случаях. Оно дает волновую функцию, описывающую такое состояние атома, которое является, если и не вполне, то почти стационарным. Под этим мы разумеем следующее. Если взять полученную волновую функцию в качестве начального состояния атома, то в течение значительного промежутка времени состояние его будет мало отличаться от описываемого этой волновой функцией. Теория почти стационарных состояний будет рассмотрена в § 8 гл. III.

Следует отметить, что ряды, получаемые в теории возмущений, могут оказаться и расходящимися, что, однако, не лишает их физического смысла, если только первые члены их достаточно быстро убывают; в этом случае используется только конечное число членов ряда.

Обратимся теперь к нашей задаче. Предположим, что собственные функции и собственные значения оператора известны точно, так что решения уравнения

известны. Требуется найти приближенные выражения для собственных значений и функций оператора Я, т. е. решить уравнение

Для решения поставленной задачи потребуется прежде всего решить неоднородное уравнение

для того случая, когда параметр равен одному из собственных значений оператора Как в этой предварительной задаче, так и в общей задаче теории возмущений рассуждения будут различны, смотря по тому, будут ли собственные значения невозмущенного оператора простыми или кратными. Чтобы уяснить идею способа на возможно простом примере, мы будем сперва рассматривать случай простых собственных значений, а затем обобщим результаты на случай кратных собственных значений.