§ 13. Изменение состояния системы во времени. Операторы как функции от времени

Рассматривая операторы для различных физических величин, мы не вводили в рассмотрение время. Между тем в классической механике все величины были функциями от времени. Что соответствует этому понятию в квантовой механике?

Мы знаем, что оператор для одной и той же физической величины допускает различные математические представления, причем выбор того или иного из них остается произвольным. Рассмотрим такое представление операторов, в котором математическая форма их остается одной и той же для всех значений времени Такое представление возможно, если только спектр собственных значений оператора не меняется во времени, как это и имеет место в большинстве случаев. Например, оператор для количества движения может быть представлен для всякого в виде Если в начальный момент времени данная величина имела определенное значение, например равнялось так что

то в момент времени она может, вообще говоря, принять другое значение или стать неопределенной. В нашем примере

Так как вид оператора по предположению остается неизменным, то должен измениться вид функции Таким образом, если принять такое представление операторов, в котором их математическая форма не зависит от то состояние системы должно описываться функцией зависящей от времени. Эта зависимость может быть символически представлена в виде

где оператор, зависящий непрерывным образом от времени и обращающийся при в единичный оператор

Оператор мы предположим унитарным

так чтобы условие нормировки сохранилось для всех

Рассмотрим теперь другой способ представления операторов. Мы знаем, что унитарной подстановке (3) над функцией соответствует унитарное преобразование операторов вида

причем уравнения

эквивалентны, если

Упомянутый второй способ представления операторов будет заключаться в том, что оператором для величины в момент времени мы будем считать

Различию между обоими способами представления операторов соответствует различие в способах описания состояния, а именно, в первом способе состояние описывается функцией от координат и времени, а во втором способе — функцией только от координат, причем время может входить только как параметр. Если начальное состояние было

то состоянию во время будет соответствовать, при описании по первому способу,

а по второму способу — по-прежнему

Чтобы узнать, будет ли величина во время иметь определенное значение, нужно, по первому способу, посмотреть, будет ли функция формулы (3 собственной функцией оператора а по второму способу — будет ли собственной функцией оператора Таким образом, в первом способе от времени зависит вид волновой функции, а во втором способе

вид оператора. Очевидно, что оба способа вполне эквивалентны.

Чтобы найти закон изменения состояния во времени, т. е. оператор примем второй способ описания. Так как здесь изменение состояния физической системы проявляется в изменении вида оператора, то естественно толковать производную по времени от оператора для данной величины как оператор для скорости изменения этой величины во времени. Такое толкование можно рассматривать как определение оператора для скорости. Найдем производную по времени от оператора причем примем во внимание возможность явной зависимости от времени оператора Мы получим

где точкой обозначено дифференцирование по времени. Переходя теперь к первому способу представления, мы должны будем применять унитарное преобразование, обратное (7), к оператору (10) и определить, как

Вычисляя это выражение, будем иметь

Но оператор унитарный, так что

откуда, дифференцируя по времени, получаем

Это равенство показывает, что оператор который мы обозначим через

будет самосопряженным. Вводя в (12) оператор и пользуясь при этом (14), получим

Второй член здесь имеет вид квантовых скобок Пуассона, так что мы можем написать

Написанное в таком виде выражение для производной по времени совпадает по форме с классическим, если оператор будет оператором энергии Мы примем здесь это предположение. Независимо от классической аналогии оно вытекает из закона сохранения энергии и из правила частот Бора. В самом деле, по закону сохранения энергии мы должны иметь

если только оператор энергии не зависит явно от времени. Это равенство будет выполняться для любой механической системы, т. е. при любом виде оператора только в том случае, если

Вид функции можно было бы установить на основании правила частот Бора. Оставляя вид неопределенным, мы получили бы для частоты света, излучаемого при переходе с уровня на уровень выражение

которое совпадает с экспериментальными, если

Обратно, если бы мы, на основании классической аналогии, положили мы могли бы вывести закон сохранения энергии и правило частот Бора.

Таким образом, можно считать установленным, что

так что выражение (16) для производной оператора по времени напишется

или

Эти уравнения носят название квантовых уравнений движения.

Если мы будем считать оператор энергии известным, то формулы (3) и (21) дадут закон изменения состояния системы во времени. В самом деле, дифференцируя (3) по времени, имеем

Но

поэтому

Заменяя его выражением (21), будем иметь

Это уравнение принято называть волновым уравнением, хотя оно и не принадлежит к тому типу уравнений, которые в математике называются волновыми.

Волновое уравнение можно было бы получить и на основании следующих формальных соображений. В классической механике энергию можно рассматривать как взятый с обратным знаком обобщенный момент, сопряженный с временем:

и по аналогии с операторами можно было бы написать

Приравнивая результаты применения к функции операторов мы получили бы волновое уравнение (25). Против этого вывода можно было бы возразить, что вид оператора был получен из условия тогда как мы не рассматривали скобок Пуассона для энергии и времени.