Глава II. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА К НЕКОТОРЫМ ФИЗИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ

§ 1. Свободный электрон

Волновое уравнение для свободного электрона имеет вид

где, согласно (7) § 3 и (13) § 4 гл. I,

или

Так как для свободного электрона имеет место закон сохранения энергии, мы можем к волновому уравнению присоединить уравнение для собственных функций оператора энергии

Далее, операторы коммутативны с Я и поэтому являются интегралами уравнений движения. Так как они коммутативны и между собой, мы можем считать составляющие количества движения заданными числами и подчинить функцию добавочным условиям

Математически это равносильно тому, что мы зависимость всех четырех функций от координат и времени предполагаем

в виде

т. е. рассматриваем плоскую волну.

Еще одним интегралом является оператор

который коммутирует как с Мы можем, следовательно, подчинить также условию

С оператором мы уже встречались в теории Паули, но там нам не приходилось вычислять его собственных функций, поскольку в уравнение Паули входит только его квадрат, который при отсутствии поля равен

Поэтому, когда заданы, величина может принимать только два значения

Оператор Н, выраженный через будет иметь вид

Так как

собственные значения оператора Н будут

Таким образом, при заданном значении количества движения мы имеем всего четыре решения

Первые два соответствуют положительной кинетической энергии, из них первое — магнитному моменту или вектору спина, совпадающему по направлению с направлением движения, и второе — направленному противоположно движению. Последние два соответствуют отрицательной энергии и не имеют физического смысла в рамках обычной квантовой механики, оперирующей с сохраняющимся числом заряженных частиц;

в существовании таких решений мы уже убедились в общем случае в § 11 гл. I.

Найдем теперь собственные функции, описывающие эти четыре состояния.

Мы имеет систему алгебраических уравнений (4) и (8), которые напишем (отбросив везде штрихи) в виде

Эти уравнения служат для определения четырехкомпонентной функции Но уравнение (15) сохраняет смысл и для двухкомпонентной функции теории Паули.

Если мы, согласно формулам § 1 ч. III, будем разуметь под матрицы Паули

то уравнения (15) напишутся

Вследствие соотношения (9) определитель этой системы уравнений равен нулю. Мы можем положить

где X — постоянная.

Если же мы будем рассматривать (15) как уравнение для четырехкомпонентной функции и возьмем, в соответствии с формулами (26) § 4 гл. I, в качестве матрицы

где

то уравнения (18) для функций сохранят свой вид, но к ним присоединятся два аналогичных уравнения для функций а именно,

Решение этих уравнений мы можем написать в виде

Таким образом, решение уравнения (15) для четырехкомпонентной функции содержит две произвольные постоянные А, и Отношение их можно определить из уравнения (16).

При нашем выборе матриц мы имеем, согласно (27) § 4 гл. I,

и уравнение (16) в раскрытом виде напишется

Выражая по формулам (19) и (23) компоненты волновой функции через получим отсюда два уравнения

которые повторяются в по два раза. Эти уравнения дают

Отсюда следует, что отношение вещественно и его знак совпадает со знаком энергии Из формул (27) следует также

Подставляя найденные значения (19) и (23) компонент волновой функции в выражения для вектора тока, приведенные в § 8 гл. I, и пользуясь соотношениями (28), мы будем иметь

и для пространственно-временных составляющих вектора тока

При можно нормировать функции так, чтобы было а при так, чтобы было Тогда будет при

и при

Таким образом, пространственные компоненты вектора тока пропорциональны количеству движения, а отношения их к временной компоненте соответствуют отношению скорости частицы и скорости света.

В заключение заметим, что в нерелятивистском предельном случае, когда энергия близка к величины близки друг к другу, вследствие чего имеют место приближенные равенства

Если же но энергия отрицательна, то будет