§ 2. Понятие об операторе и примеры операторов

Подобно тому, как функция есть рецепт, позволяющий по данному числу х найти другое число так оператор есть рецепт, позволяющий по заданной функции вычислить другую функцию

Линейным оператором называется такой, который обладает следующими свойствами:

где произвольные функции и а — произвольная постоянная. Мы будем иметь дело только с линейными операторами, поэтому можно не прибавлять каждый раз слова «линейный».

Объектами применения операторов могут быть функции одной или нескольких переменных как непрерывных (например, координата), так и прерывных, принимающих только отдельные значения (например, уровень энергии или его номер). Непрерывные переменные могут либо принимать все значения, либо меняться в определенном промежутке. Прерывные переменные могут принимать как бесконечный, так и конечный ряд значений. Независимые переменные мы будем всегда предполагать вещественными; функции же, к которым применяются операторы, будут у нас, вообще говоря, комплексными.

Задавая оператор, нужно прежде всего указать, к функциям от каких переменных он применяется.

Типичными операторами, действующими над функцией от непрерывной переменной х, являются: умножение на х и дифференцирование по

В случае умножения на х переменная х играет двоякую роль: она входит, во-первых, как аргумент в во-вторых, как оператор. Весьма часто встречается в физике оператор Лапласа (Laplace), который обозначается обычно символом А

Некоторые линейные операторы могут быть представлены в виде определенного интеграла

В таком случае функция называется ядром оператора. В качестве примера ядра приведем решение уравнения Пуассона (Poisson)

Если функция задана во всем пространстве и если предельные условия для суть: на бесконечности, то решение уравнения Пуассона, как известно, дается формулой

Мы видим, что оператор имеет ядро, равное

Если из уравнения

и надлежащих предельных условий вытекает уравнение

то операторы называются обратными. В нашем примере обратными являются операторы

Если переменная принимает только отдельные значения, их всегда можно перенумеровать: поэтому функцию от прерывной переменной всегда можно представить как функцию от целого числа — номера значения этой переменной. Всякий оператор, действующий над функцией от целого числа (точнее, результат его применения к этой функции), может быть представлен в виде суммы

Совокупность коэффициентов называют «матрицей» этого оператора и говорят, что оператор представлен в виде матрицы. Последняя формула представляет полную аналогию с формулой (3), причем роль ядра играет здесь матрица