§ 2. Плотность и вектор тока

В уравнениях Максвелла (1) и (2) § 1 материя характеризуется плотностью заряда и вектором тока Нам нужно найти квантовые аналоги этих величин. Аналоги эти могут быть двух родов: во-первых — математические ожидания, и, во-вторых, — операторы. Так как классические величины входят в наши формулы как функции от времени, то для операторов нужно выбрать ту форму представления, которая содержала бы явно зависимость их от времени (см. § 14 гл. .

Начнем с рассмотрения математических ожиданий. Величина представляет в классической теории заряд в объеме . В квантовой теории математическое ожидание заряда получится, если мы умножим заряд одного электрона на математическое ожидание числа электронов. Если мы имеем только один электрон, то это последнее будет равно вероятности

электрону быть в объеме которая выражается, как известно, формулой

Таким образом, величина будет соответствовать

Рассмотрим число электронов в некотором малом объеме V0; обозначим это число через Его математическое ожидание будет

Составим выражение для производной от этой величины по времени. Заменяя их выражениями из волнового уравнения, мы будем иметь

Но для уравнения Шредингера

Пользуясь уравнением (4) и тем, что

можно формулу (3) написать в виде

где есть вектор

Преобразуя (5) по теореме Гаусса, получим

где есть внешняя нормаль к поверхности сто, окружающей объем Эта формула может быть истолкована в том смысле, что изменение математического ожидания числа электронов внутри объема равно математическому ожиданию числа элек тронов, проходящих сквозь поверхность сто. Величина

будет представлять тогда математическое ожидание числа электронов, проходящих за единицу времени сквозь элемент поверхности При этом числа электронов складываются алгебраически, так что если пронизывается в обоих направлениях одинаковым числом электронов, то Вектор дает, следовательно, плотность потока электронов, так что классическому вектору тока мы можем сопоставить величину

Из определения вектора вытекает уравнение

откуда следует, что квантовые аналоги (1) и (8) величин удовлетворяют уравнению неразрывности (3) § 1.

Выражение (6) для вектора может быть преобразовано следующим образом. Положим

где вещественны. Тогда, как нетрудно проверить,

так что вектор параллелен градиенту фазы волновой функции.

С другой стороны, можно в формуле (6) выразить производные

через результаты применения операторов Мы получим тогда

или

и аналогичные формулы для двух других составляющих. В этих формулах суть операторы для составляющих скорости (см. § 1 гл. I).

Выражения (13) представляют, с формальной стороны, естественное обобщение классических выражений (разделенных на заряд электрона так как плотность сопоставляется с а составляющим скорости соответствуют операторы

В пятой части этой книги мы увидим, что в теории Дирака вектор также может быть представлен в виде (13), хотя

операторы х, у, z имеют там совершенно другой вид, чем в теории Шредингера.

Мы нашли квантовые выражения для математического ожидания числа электронов, находящихся в данном объеме и проходящих в единицу времени сквозь его поверхность. Рассмотрим теперь соответствующие операторы.

Если мы имеем один электрон, то число электронов в объеме (равное нулю или единице) будет функцией от координат х, у, z нашего единственного электрона, где определяется следующим образом:

Поэтому оператором для числа электронов, выраженным в переменных х, у, z, будет умножение на эту функцию. Математическим ожиданием этого оператора будет как раз величина (2), как это и должно быть. Переходя к Гейзенбергову представлению операторов, мы должны будем составить матрицу с элементами

где представляют замкнутую систему функций, удовлетворяющих уравнению Шредингера, например собственных функций оператора энергии. Так как функция отлична от нуля только внутри объема где она равна единице, то

где интегрирование распространено только по объему

Умноженный на заряд электрона элемент Гейзенберговой, матрицы оператора представляет аналог классической величины

а плотности можно сопоставить величину

Сопоставление это делается в том же смысле, как в § 8 гл. I, где элементы Гейзенберговой матрицы для координаты х сопоставлялись с классическими выражениями для той же величины.

Получив квантовый аналог для плотности мы можем вывести аналог для вектора тока идя тем же путем, каким мы получили формулу (8) из формулы (1).

Мы будем иметь, аналогично (5) и (6),

где есть вектор

и классическому вектору тока мы можем сопоставить величину

Выражения (12) и (13) заменятся теперь следующими:

и

Квантовые выражения для плотности и вектора тока были выведены нами в предположении, что мы имеем только один электрон, но они легко обобщаются и на случай нескольких электронов.