§ 2. Математическое ожидание в квантовой механике

Обратимся теперь к теории квантов. Мы видели, что состояние электрона может быть описано посредством волновой функции

Это описание мы понимали в том смысле, что если есть собственная функция оператора для величины Я, соответствующая собственному значению к, то задание равносильно указанию, что в результате измерения величины к должна

получиться Собственное значение выражалось через ственную функцию следующим образом:

Естественно задать вопрос, как понимать описание состояния посредством функции в общем случае, когда она не является собственной функцией какого-либо оператора Мы ответим на этот вопрос, введя гипотезу о вероятностном характере такого описания.

Положим, мы имеем много электронов, находящихся в одинаковом состоянии Если мы будем на каждом из них измерять величину к, то, согласно нашей гипотезе, отдельные измерения могут давать (вследствие влияния процесса измерения на объект) разные результаты, но среднее из этих результатов будет определенным числом, которое будет представлять математическое ожидание величины К в состоянии Таким образом, наша гипотеза состоит в предположении, что результат отдельного измерения может быть случайным, но что при большом числе измерений среднее не будет зависеть от этого числа, лишь бы оно было велико. Так как практически приходится, в большинстве случаев, иметь дело с большим числом электронов, то среднее, т. е. математическое ожидание данной величины, даже более непосредственно доступно опыту, чем значение этой величины для отдельного электрона.

Мы дали физическое определение понятия математического ожидания. Нам предстоит выразить его через функцию характеризующую состояние электрона, и через оператор характеризующий данную величину.

Прежде всего выражение для математического ожидания должно удовлетворять требованию инвариантности, т. е. оно не должно зависеть ни от выбора независимых переменных в волновой функции, ни от выбора произвольной формы в представлении операторов. Короче говоря, оно должно быть инвариантом по отношению к унитарным преобразованиям, рассмотренным нами в предыдущей главе.

Кроме того, математическое ожидание должно обладать следующими двумя свойствами, известными из теории вероятностей. Во-первых, математическое ожидание суммы двух величин должно равняться сумме математических ожиданий этих величин, безразлично, будут ли они независимыми или нет. Во-вторых, если в данном состоянии величина к имеет определенное значение к, то и ее математическое ожидание должно равняться к.

Эти требования однозначно определяют вид выражения для математического ожидания. Из условия инвариантности следует, что оно должно выражаться через унитарные инварианты. Таковыми являются, с одной стороны, собственные значения операторов и, с другой стороны, выражения вида

Но мы не можем толковать собственные значения операторов как математические ожидания, хотя бы потому, что собственные значения суммы двух операторов, вообще говоря, не равны сумме их собственных значений. Остаются, следовательно, выражения вида Из них мы должны выбрать первое или величину, ему пропорциональную, так как из первого из упомянутых выше свойств вытекает, что математическое ожидание должно выражаться через оператор линейно. Множитель пропорциональности получается однозначно из свойства второго. Таким образом

или, если функция нормирована,

Это выражение удовлетворяет всем поставленным требованиям, так как оно, как мы знаем, инвариантно по отношению к унитарным преобразованиям (теорема замкнутости), и, кроме того, мы имеем

так что

Наконец, если в состоянии величина с оператором равна , т. е. если

то и

Таким образом, изложенные формальные соображения привели к вполне определенному выражению для математического

ожидания величины, описываемой оператором и характеризующей систему в состоянии На примере рассеяния -частиц (формула Резерфорда), который будет рассмотрен в конце гл. V второй части, мы увидим, что теория согласуется с опытом.