§ 3. Выражение для вероятностей

Из формулы (2) § 2 для математического ожидания вытекает простое выражение для вероятности получить в результате измерения данной величины определенное значение или значение, лежащее в определенных пределах.

Пусть суть собственные функции оператора Разложим функцию описывающую состояние электрона, в ряд по этим собственным функциям

Результат применения оператора к функции будет равен

Предположим функцию нормированной и составим выражение для математического ожидания величины Я. По теореме замкнутости мы будем иметь

Сравнивая это с формулой (13) § 1, мы убедимся, что вероятность величине Я быть равной будет

а вероятность ей лежать в пределах равна

Сумма вероятностей равна единице, так как, в силу нормировки функции и по теореме замкнутости, имеем

Коэффициенты представляют, как мы знаем, волновую функцию, описывающую состояние электрона в переменных Формулы (4) и (5) дают, таким образом, прямое физическое толкование квадрата модуля волновой функции как

вероятности. Положим, например, что к есть совокупность координат х, у, z. Тогда вероятность электрону находится в объеме

равна по формуле

Рассмотрим теперь общий случай, когда А есть какая-либо физическая величина. Когда исходное состояние задано, то для нахождения вероятности получить при измерении величины к определенное значение для нее нужно выразить в переменных к волновую функцию, описывающую это состояние [другими словами, найти коэффициент с разложения по Квадрат ее модуля (т. е. квадрат модуля коэффициента разложения) дает искомую вероятность.

Положим, состояние характеризуется функцией представляющей собственную функцию оператора соответствующую собственному значению

Это значит, что в данном состоянии измерение величины дает определенное значение. Какова вероятность получить в результате измерения другой величины к значение, равное Применяя формулу (1) к функции и вспоминая выражение для коэффициентов разложения с получим для искомой вероятности выражение

С другой стороны, если бы мы искали вероятность равенства при условии, что мы пришли бы к тому же выражению (10). Таким образом, вероятность равенства при условии равна вероятности равенства при условии

Если есть одна и та же величина, то функции будут собственными функциями одного и того же оператора. В силу ортогональности собственных функций, при интеграл будет равен нулю, а при он будет равен единице, что вполне соответствует физическому смыслу выражения (10) как вероятности. Таким образом, ортогональность двух волновых функций выражает тот факт, что описываемые ими состояния несовместны.

Когда данная величина может меняться непрерывно, то нельзя говорить о вероятности того, что она имеет определенное значение: такая вероятность равна нулю. Взамен этого можно говорить о вероятности того, что она лежит в известном

промежутке, а также о «плотности вероятности», т. е. об отношении этой вероятности к ширине промежутка. Так, например,

есть плотность вероятности для координаты.

С этим связано различие в нормировке функций для точечного и для сплошного спектра; переходу от собственных функций к собственным дифференциалам соответствует переход от плотности вероятности к вероятности лежать в известном промежутке.