§ 9. Радиальные функции водорода для сплошного спектра

На основании результатов предыдущих параграфов [формулы (9), (11) § 2 и (2), (3), (6), (8) § 7], мы можем радиальную функцию атома водорода для сплошного спектра написать в виде

причем эта. функция будет вещественна, если только вещественно. Чтобы получить асимптотическое выражение для этой функции для больших подставим в формуле (10) § 8 вместо их значения и положим

а ряды заменим их предельными значениями Мы получим тогда

Нам нужно нормировать эту функцию так, чтобы было

Иногда бывает удобно ввести вместо другой параметр связанный с соотношением

где есть некоторая монотонная функция, и рассматривать собственную функцию нормированную по формуле

Найдем связь между функциями, соответствующими различным нормировкам. Мы имеем, считая и положительными,

так как бесконечно мало. Подставляя эти вырания в (4) и сравнивая с (6), получаем

Формулу (4) или (6) можно преобразовать следующим образом. Так как собственные дифференциалы, относящиеся к различным участкам сплошного спектра, ортогональны, мы можем вместо (6) написать

где . В этой формуле мы можем перейти к пределу оставляя отличным от нуля. Мы получим

Пусть теперь ненормированные функции, нормировочный множитель, так что

Так как бесконечно мало, мы можем вынести множитель с из-под знака интеграла и получим для определения его уравнение

Выражение в правой части не зависит от как могло бы показаться на первый взгляд.

Предыдущие соображения относятся не только к данному примеру, но и к общему случаю нормировки собственных функций в сплошном спектре.

Для вычисления интеграла (11) разделим промежуток интегрирования по на две части: от нуля до некоторого и от до Интеграл в конечном промежутке (от 0 до А)

будет, очевидно, стремиться к нулю одновременно с Поэтому остается интеграл от до и мы будем иметь

Преимущество этой формулы в том, что, взяв А достаточно большим, мы можем пользоваться асимптотическим выражением для Положим

и возьмем в качестве ту функцию, которая имеет асимптотическое выражение

где у есть векторная функция от значение которой можно получить из сравнения (14) с (3). Можно показать, что при вычислении предела (12) члены под знаком косинуса не играют роли, так как они малы по сравнению с главным членом Оставляя поэтому только этот член, мы будем иметь

Легко показать, что

самом деле, это выражение равно

а величина в скобках представляет разность двух сходящихся интегралов, которые при совпадают. Остается, следовательно,

Вводя здесь новую переменную получим

так что мы можем положить

Таким образом, собственными функциями, нормированными относительно будут те, которые имеют асимптотическое выражение

а нормированными относительно будут, согласно формуле имеющие асимптотическое выражение

Формула (3) дает теперь следующее значение множителя в выражении (1):

Функцию

нетрудно выразить через элементарные функции. Полагая перемножая равенства

и пользуясь формулой

получаем

или

Подставляя это в формулу (22), получаем следующее окончательное выражение для

С этим значением формула (1), которую мы выпишем здесь еще раз:

дает нормированные радиальные функции атома водорода для сплошного спектра.

Представляет интерес выражение для предельного значения при Пользуясь формулой (17) § 6 и припоминая (18) § 6, будем иметь