§ 4. Произведение операторов. Правило умножения матриц
Произведением двух операторов 
называется оператор, состоящий в последовательном применении операторов 
Если сперва применяется оператор 
а затем К, произведение их 
записывается в виде
Если же сперва применяется К, а затем 
то произведение их будет
Очевидно, что операторы 
вообще говоря, будут различны, так что произведение операторов зависит от порядка множителей.
Положим, например, что К есть оператор умножения на 
оператор дифференцирования по х
В этом случае будем иметь
тогда как
Мы видим, что в нашем примере 
причем
так что разность 
в нашем случае есть оператор умножения на единицу
Может случиться, что произведение операторов не зависит от порядка множителей. В таком случае говорят, что операторы обладают свойством переместительности или коммутативно» 
или, короче, — что они коммутируют друг с другом. В качестве примера коммутативных операторов можно указать операторы дифференцирования по двум независимым переменным. Найдем оператор, сопряженный к произведению
Мы имеем
Положим
Тогда предыдущее выражение будет равно
по определению оператора 
Положим далее
Тогда 
по определению 
Подставляя вместо 
его выражение, получим окончательно
Сравнивая это равенство с определением сопряженного
оператора 
получим
или
Таким образом, оператор, сопряженный к произведению, равен произведению сопряженных операторов, взятых в обратном порядке.
Если операторы 
самосопряженные, то их произведение, вообще говоря, не будет самосопряженным, так что
Если же самосопряженные операторы 
переместительны, то и произведение их будет самосопряженным.
Рассмотрим произведение двух операторов, имеющих ядра 
. Имеем
Выполняя сперва интегрирование по 
и вводя обозначение
можем предыдущую формулу написать в виде
Таким образом, произведение операторов 
имеет ядро, определяемое формулой (9).
Рассмотрим теперь произведение двух операторов, действующих над функцией от прерывной переменной и могущих быть представленными в виде матриц. Мы имеем
Если мы положим
то получим
или
где
Эта формула дает правило умножения матриц. Элементы строки номер 
матрицы К (стоящей слева) множатся на элементы столбца номер 
матрицы 
(стоящей справа).
Рассмотрим матрицу 
с элементами 
удовлетворяющими условиям
где, согласно принятому нами обозначению (3) § 3,
Пользуясь правилом умножения матриц, мы можем записать предыдущие равенства в виде
где под единицей следует разуметь единичную матрицу. Матрица, удовлетворяющая условиям (17), называется унитарной матрицей, а соответствующий оператор — унитарным оператором.
Унитарный оператор обладает следующим свойством. Положим
или
и составим сумму
Пользуясь свойством (15), будем иметь
Таким образом, унитарный оператор оставляет сумму (19) инвариантной.
