§ 8. Закон распада почти стационарного состояния

Закон распада почти стационарного состояния системы может быть формулирован для весьма общего случая, если ввести в рассмотрение функцию распределения энергии в этом состоянии.

Обозначим буквой х совокупность координат (или тех переменных, через которые выражена вэлновая функция). Пусть есть начальное значение волновой функции

рассматриваемой системы. Разложим в интеграл по собственным функциям оператора энергии:

Тогда состояние системы во время будет

Вероятность того, что через время система может быть обнаружена в начальном состоянии, равна квадрату модуля «скалярного произведения»

так что мы имеем

На основании теоремы замкнутости для функций величина может быть представлена как «скалярное произведение» коэффициентов разложения функций (1) и (2). Мы имеем

Но величина

есть функция распределения энергии для начального состояния (а значит, и для состояния во всякий последующий момент времени Поэтому выражение (5) может быть написано в виде

Таким образом, введенная выше вероятность того, что через время система еще не распалась, равна

Мы получаем, таким образом, следующую теорему. Закон распада состояния зависит только от функции распределения энергии в этом состоянии и выражается формулой (8).

При соответствующем определении интегральной функции распределения формула (8) будет справедлива и в том случае, когда функция разрывна (точечный спектр).

Заметим, что закон распада может быть одинаков и для двух разных состояний, если только функция распределения энергии для них одинакова. Следует также иметь в виду, что в формуле

для вероятности распада время отсчитывается с того момента, когда (в последний раз) констатировано, что атом (или система) еще не распался; самое же состояние нераспадавше-гося атома не меняется. Это можно, если угодно, выразить словами; атом не стареет, а распадается внезапно. Это следствие справедливо для любого закона распада, не обязательно экспоненциального.

Интересно отметить, что в формуле (7) подвергается преобразованию Фурье не амплитуда вероятности (не волновая функция), как обычно в квантовой механике, а сама вероятность. Согласно терминологии, принятой в теории вероятностей, есть характеристическая функция для распределения энергии.

Из свойств интеграла Фурье вытекает связь между быстротой распада и плавностью функции распределения.

Выясним сперва условия, при которых вообще будет иметь место распад.

Если существует дифференциальная функция распределения энергии (плотность вероятности) то интегральная функция распределения связана с ней соотношением

где любые два значения энергии. Если то написанное выражение есть, очевидно, вероятность того, что энергия системы лежит между Если точечный спектр отсутствует, функция будет непрерывна для любого начального состояния. При наличии же точечного спектра функция может быть непрерывна лишь в том случае, когда в начальном состоянии обращаются в нуль все относящиеся к точечному спектру вероятности.

Предположим, что функция непрерывна. Из связи (9) между следует, что непрерывность равносильна абсолютной интегрируемости в обычном ее определении. Но если абсолютно интегрируема, то величина интеграла (5) стремится к нулю при неограниченном возрастании

Таким образом, из непрерывности следует

где, согласно (7) и (8), есть вероятность того, что во время система не распалась. С другой стороны, можно доказать, что из условия (10) вытекает непрерывность

Мы приходим к выводу, что необходимым и достаточным условием наличия распада является непрерывность интегральной функции распределения энергии.

Во многих задачах функция распределения энергии удовлетворяет гораздо более жестким условиям, чем простая непрерывность Так, в задаче о вылете частицы из потенциальной ямы через барьер потенциальной энергии плотность вероятности будет мероморфной функцией комплексной переменной (задача эта была рассмотрена в предыдущем параграфе). Так как при вещественных значениях функция будет вещественной, то полюсы ее будут расположены симметрично относительно вещественной оси, причем вычеты в полюсах будут величинами комплексными сопряженными (по физическому смыслу функции как плотности вероятности, она не может иметь полюсов на самой вещественной оси). Пусть ближайшая к вещественной оси пара полюсов будет

Пусть следующая пара полюсов будет иметь мнимую часть Нетрудно видеть, что если настолько велико, что

то значение интеграла (7) будет обусловлено вычетом в одном из двух полюсов (11), тогда как остальные полюсы не будут играть роли. Но если бы функция имела только одну пару полюсов, то мы могли бы положить

т. е. пришли бы к дисперсионной формуле распределения энергии.

Подставляя (13) в интеграл (7), мы получаем

и, следовательно,

Таким образом, для получения обычной экспоненциальной формы закона распада достаточно уже общего предположения о мероморфном характере функции предположения, которое может быть обосновано путем анализа уравнения Шредингера для данной задачи.