§ 5. Полиномы Чебышева — Эрмита

Полиномы, представляющие решения уравнения

при целом носят название полиномов Чебышева — Эрмита и обозначаются символом Формула (13) § 4 дает для них выражение

при четном и

при нечетном. Постоянные принято определять так, чтобы коэффициент при старшей степени был равен Для этого нужно положить

Если расположить полиномы по убывающим степеням то получатся выражения

справедливые как при четном, так и при нечетном и.

Покажем, что полином Эрмита может быть представлен в виде

Прежде всего легко видеть, что выражение в правой части (7) есть полином, старший член которого есть в самом деле, этот член происходит от степени производной от

показателя Так как уравнение (1) имеет только одно решение в виде полинома, то для доказательства равенства (7) остается показать, что правая часть (7) удовлетворяет уравнению (1). Для этого заметим, что функция удовлетворяет уравнению

Дифференцируя это уравнение раза, получим

или

где

Полагая, наконец,

получим для уравнение

совпадающее с уравнением (1) для Таким образом, формула (7) доказана. Дифференцируя уравнение

но получим

Полином удовлетворяет, следовательно, тому же уравнению, как и и может отличаться от него только множителем. Так как старший член в есть он равен то мы дмеем равенство

С другой стороны, дифференцируя выражение (7), имеем

Сравнивая оба выражения для производной, получаем рекуррентную формулу, связывающую три последовательные полинома Эрмита

Функции

являются собственными функциями оператора в левой части, уравнения

и поэтому обладают свойством ортогональности

Чтобы они были нормированы, нужно определить постоянную из условия

или

Вычислим этот интеграл. Заменяя его выражением будем иметь

Интегрируя раз по частям, получим

но есть постоянная, равная

Поэтому

Следовательно, функции

будут ортогональны и нормированы. Если подставить в (9) и (11) выражение через мы получим

а подставляя (20) в (19), будем иметь

В заключение приведем без вывода асимптотическое выражение для справедливое при условии :