§ 7. Неравенства Гейзенберга

Математическое ожидание какой-либо величины состоянии вибратора выражается формулой

и равно, очевидно, диагональному элементу матрицы для оператора в переменных Из наших формул следует, что математическое ожидание х координаты а также математическое ожидание момента равны нулю, так как соответствующие диагональные элементы матриц исчезают:

Найдем математические ожидания квадратов отклонения величин от их средних значений

Мы имеем

так что, если мы обозначим левую часть через то

Аналогично получаем

или

Таким образом,

откуда

Величины мы можем толковать как средние квадратичные отклонения измеренных значений количества движения и положения вибратора от математических ожиданий этих величин.

Выведенная нами формула обладает весьма большой общностью. Если понимать ее как соотношение между порядками величины средних квадратичных отклонений и надлежащим образом ввести квантовое число то она будет справедлива не только для вибратора, но и для любой системы в квантовом состоянии. Произведение средних квадратичных отклонений будет наименьшим в основном состоянии (при так что всегда будет

Покажем, что это неравенство выполняется не только для электрона в состоянии, описываемом одной из собственных функций вибратора, но и для электрона в любом состоянии. При доказательстве мы предположим, что математические ожидания равны нулю (от этого ограничения нетрудно освободиться)

Пусть состояние электрона описывается функцией Введем две вещественные постоянные а и и рассмотрим очевидное неравенство

справедливое при всех значениях Вычисляя квадрат модуля, стоящий под интегралом, будем иметь

или

где

Чтобы квадратичная форма (13) была положительной, необходимо соблюдение неравенства или, так как все три числа положительны,

Но, согласно (14), мы имеем

откуда

что и требовалось доказать.

Аналогичные неравенства справедливы, очевидно, и для двух других координат, так что мы имеем

Неравенства (17) были указаны Гейзенбергом, который показал на ряде физических примеров, как увеличение точности в измерении координаты уменьшает точность в измерении количества движения и наоборот. Приведенный здесь формальный вывод принадлежит Вейлю (Weyl).