§ 4. Некоторые свойства шаровых функций со спином

Уравнения (5) предыдущего параграфа, написанные в виде

можно толковать как уравнения для собственных функций самосопряженного оператора

соответствующих собственному значению Отсюда следует, что функции будут обладать свойством ортогональности

и будут представлять замкнутую систему функций.

Переходя по формуле (13) § 3 от к мы можем заключить, что эти функции также будут представлять замкнутую ортогональную систему. Принимая во внимание нормировку их (20) § 3, мы можем написать

или короче

где под символом у мы разумеем совокупность двух функций

Произвольную пару функций которую мы также можем обозначить одним символом и можно разложить (при выполнении некоторых общих условий) по функциям в ряд вида

Под выражением (6) следует понимать два равенства

причем коэффициенты в обоих равенствах одни и те же. Эти коэффициенты вычисляются по формуле

или подробнее

Имея в виду дальнейшие приложения, положим здесь

Для вычисления интегралов вида можно выразить по формулам (25) и (25 § 3 через обыкновенные шаровые функции и воспользоваться рекуррентной формулой (11) § 6 гл. IV ч. II. Вычисление показывает, что только три коэффициента с отличны от нуля, так что разложение (6) будет содержать только три члена; если мы будем писать вместо то это разложение напишется в виде

Справедливость этой формулы можно проверить, выразив через обыкновенные шаровые функции.

Если положить

то получится, после аналогичных вычислений,

Эта формула проверяется при помощи соотношений (12) § 6 гл. обобщением которых она является.

Заметим, что соотношения (9) и (10) справедливы не только для функций но и для функций так как одни являются линейными комбинациями других с коэффициентами, не зависящими от

Изложенный здесь способ вывода рекуррентных соотношений, основанный на теореме замкнутости, является весьма общим и применим, в частности, к обыкновенным шаровым функциям и к обобщенным полиномам Лагерра, рассмотренным нами во второй части этой книги.