§ 7. Случай близких собственных значений

Из формул § 3 видно, что если два собственных значения невозмущенного оператора близки друг к другу, то в выражениях (9) и (12) § 3 для и проявляются малые знаменатели Вследствие этого, получаемые приближения будут плохими, а если знаменатели того же порядка, как и числители (умноженные на ), то указанными формулами вообще нельзя пользоваться. Это значит, что в таком случае нельзя разлагать искомые функции и собственные значения по степеням Вместо этого можно применить способ, идея которого состоит в таком расположении вычислений, чтобы во всех членах с малыми знаменателями числители обратились в нуль. При изложении этого способа мы ограничимся получением «нулевого» приближения.

Напишем исследуемое уравнение в виде

где

и положим, что невозмущенный оператор имеет два близких собственных значения и которым соответствуют собственные функции и Будем искать то решение уравнения (1), для которого близко к В качестве исходного приближения нужно взять вместо или как это делалось в § 3, линейную комбинацию

В самом деле, из формулы (9) § 3 мы можем заключить, что главный член в выражении для будет пропорционален поэтому целесообразно принять его во внимание уже в исходном приближении. Кроме того, из формулы (10) § 4 следует, что в предельном случае, когда совпадает с функцией нулевого приближения будет линейная комбинация и Подставляя выражение (3) в наше уравнение (1), получим приближенное равенство

Умножая (4) сперва на а затем на и интегрируя, получим два уравнения

где

Заметим, что недиагональные члены здесь малы по сравнению с диагональными так как для невозмущенного оператора Уравнения (5) служат для определения коэффициентов и параметра Приравнивая нулю определитель

и решая квадратное уравнение

получаем для два значения

которые мы обозначим через Из (2) следует, что

где определяется формулой, аналогичной (6). Поэтому будет порядка и если бы разность — не была мала, то выражение (9) можно было бы разложить по степеням но если эта разность мала, то разложение будет плохо сходиться или даже будет расходящимся. Отсюда ясно, почему способ, изложенный в § 3, неприменим к случаю близких корней. Два значения получаемых из (9), дают в первом приближении возмущенные собственные значения оператора Я, которые соответствуют невозмущенным значениям и Из формулы (5) можно найти коэффициенты Это удобнее всего сделать, введя две вспомогательные вещественные величины а. и по формуле

Из (5), (9) и (11) легко вывести, что отношение — принимает два значения

Если мы теперь положим

то мы получим нормированные решения уравнений (5). Соответствующие собственные функции будут

Эти функции и могут служить исходным приближением. Составленные при помощи них элементы матрицы оператора Я будут

так что Поэтому, переходя к следующим приближениям и составляя при помощи и остальных функций выражения, аналогичные (9) или (12) § 3, мы не получим в них членов с малым знаменателем так что эти выражения действительно будут представлять лишь малые поправки.