§ 11. Кинетическая энергия электрона

Если мы в выражении (3) § 9 или (1) § 10 для оператора полной энергии электрона отбросим член с потенциальной энергией, мы получим оператор

или

который можно толковать как оператор для кинетической энергии, представляющий аналог классической величины

где скорость, количество движения электрона. Это толкование подтверждается, во-первых, аналогией между квантовым и классическим выражением для производной от по времени и, во-вторых тем, что собственные значения оператора по абсолютной величине больше Еще ближе будет аналогия, если мы будем сопоставлять классическим величинам не самый оператор а усредненное значение Гейзенберговой матрицы для этого оператора, которое мы найдем в следующем параграфе.

Составим прежде всего выражение для производной от оператора по времени. Мы имеем по общей формуле

причем

Но зависит явно от времени только через посредства вектор-потенциала, входящего в операторы С другой стороны, единственный член в который не коммутирует с есть — Поэтому будет

или

Но в § 9 мы видели, что, согласно уравнению Дипака,

Поэтому формулу (6 можно написать в виде

Формально это выражение в точности совпадает с уравнением (3) § 2.

Чтобы убедиться, что собственные значения оператора по абсолютной величине больше составим его квадрат. Мы получим, пользуясь формулой (2) и свойствами матриц

Второй член представляет умноженный на квадрат самосопряженного оператора

уже изученного нами в теории Паули . Если мы обозначим его собственные значения (которые будут вещественны) через то собственные значения будут

так, что

и, следовательно,

В формуле (12) мы написали перед выражением с квадратным корнем двойной знак. Покажем, что в самом деле теория дает для кинетической энергии собственные значения обоих знаков. Напишем уравнение для собственных функций оператора Т:

Если функция есть решение этого уравнения для собственного значения то функция

будет решением для собственного значения В самом деле, в силу того, что матрица коммутирует с матрицами и антикоммутирует с мы будем иметь

что и доказывает наше утверждение.