§ 14. Вычисление матрицы возмущающей энергии

Обратимся теперь к вычислению величин (7) § 13. Пользуясь значением (29) § 4 гл. I матрицы и выражением (20) § 4 для функций получим

Выразим здесь через при помощи (2) § 6

причем будем считать вещественными. Функции же и от углов мы выразим по формулам

через функции зависящие от одного угла (см. § . Так как при подынтегральная функция в (1) не будет зависеть от то интегрирование по сведется к умножению на Мы получим

Покажем, что интеграл можно приближенно вычислить, не решая уравнений для радиальных функций. Согласно формуле (3) § 6, эти уравнения имеют вид

Мы видели в § 7, что радиальные функции точечного спектра убывают на бесконечности по показательному закону и обращаются в нуль при Поэтому мы имеем тождество

Заменяя в правой части производные их выражениями из дифференциальных уравнений (5), получим

Второй член в правой части есть не что иное, как искомый интеграл, входящий в формулу (4). Заметим теперь, что весьма мало по сравнению с и что для рассматриваемых значений для которых разность (ширина дублета) весьма мала по сравнению с а весьма мало отличается от (обе функции и приближенно удовлетворяют одному и тому же уравнению (7) § 6). Принимая во внимание нормировку функций, получим из (7) приближенное значение интеграла, входящего в формулу (4), а именно,

Обозначим буквой со так называемую Ларморовскую (Larmor) частоту, т. е. величину

и введем выражение (8) в формулу (4). Мы получим

Нам остается вычислить интеграл

Интегрируя по частям и пользуясь уравнением (5) § 3 ч. III для функций имеем

Умножая (11) на и складывая с (12), получим

Вводя теперь по формуле

наши функции уже использованные в теории Паули (формула (13) § 3 ч. III), будем иметь

так что

В силу ортогональности шаровых функции через которые выражаются интеграл (15) отличен от нуля только в том случае, когда т. е. при условии (5) § 13. Поэтому элементы матрицы (7) § 13 являются не только самыми важными для вычисления поправок, но и единственными отличными от нуля, (при условии

Для вычисления интеграла (15) достаточно выразить по формуле (24) § 3 ч. III через обыкновенные шаровые функции и воспользоваться нормировкой этих последних. В результате получается

Давая здесь значения получим

Заменяя в на получим

Таким образом, все величины (7, § 13) нами вычислены.