§ 7. Решение дифференциального уравне им для сплошного спектра в виде определенного интеграла

Обратимся теперь к случаю сплошного спектра. В уравнении (10) § 2

параметр будет положительным числом, и если мы введем переменную

то она будет вещественной. Мы положим также

Уравнение (1) примет вид

Это уравнение отличается от (3) § 3 лишь знаком одного из членов. Оно получается из (3) § 3 подстановкой

Поэтому мы можем прямо применить сюда результаты § 3 и утверждать, что решением уравнения (4), конечным при будет

где удовлетворяет дифференциальному уравнению

и выражается в виде ряда

Нам понадобится ассимптотическое выражение для функций у и справедливое при больших значениях Его легче всего получить, если мы выразим в виде определенного интеграла. Это нетрудно сделать, если применить способ Лапласа к решению дифференциального уравнения (7). Способ этот заключается в следующем. Будем искать решение (7) в виде

где - неизвестная пока функция, а интеграл берется по некоторому контуру в плоскости комплексной переменной Подставляя (9), в (7) и дифференцируя под знаком интеграла, будем иметь

Чтобы освободиться от множителя перед первым интегралом, производим в нем интегрирование по частям. Мы получим

где пределы интегрирования обозначены через

Если мы потребуем, чтобы разность значений на пределах от проинтегрированных членов обратилась в нуль,

то результат подстановки (9) в (7) примет вид

Этому уравнению мы удовлетворим, если потребуем, чтобы в (11) подынтегральная функция равнялась нулю, т. е. подчиним дифференциальному уравнению

Решая это уравнение, будем иметь

откуда

Таким образом, решением уравнения (7) будет

если только контур интегрирования выбран так, чтобы выполнялось условие (10), которое можно написать в виде

Мы ищем то решение уравнения (17), которое остается конечным при Такое решение получится, если мы возьмем в качестве пути интегрирования отрезок вещественной оси от до при этом выборе контура будет, очевидно, выполняться и условие (15), если только что всегда имеет место, так как мы предполагаем Подставляя в (14) пределы, будем иметь

Чтобы проверить, что этот интеграл действительно совпадает с рядом (8), разложим в (14 показательную функцию в степенной ряд и проинтегрируем почленно. Пользуясь известным интегралом Эйлера (Euler)

мы будем иметь

или

что и требовалось доказать. Из сравнения (8) и (17) видно, что постоянные а и с в формулах (8) и (14 связаны соотношением

Таким образом, мы доказали формулу

Зная, что оба выражения (14) суть интегралы уравнения (7), конечные при мы могли бы, разумеется, вывести формулу (18) простым сравнением этих выражений для Полагая в формуле мы получим равенство

из которого следует, что функция у, определяемая формулой (6), будет вещественной, если только постоянная а в выражении (8) для вещественна, что мы и будем предполагать.