Часть III. ТЕОРИЯ ПАУЛИ

§ 1. Момент количества движения электрона

В § 7 гл. II мы рассматривали операторы момента количества движения, составленные из операторов для координат и для количества движения по формулам

Эти операторы можно сопоставить моменту количества движения материальной точки с тремя степенями свободы, соответствующими движению в пространстве. Поведение электрона в магнитном поле, а также свойства систем, составленных из многих электронов (например, электронной оболочки атома), показали, что электрон обладает также некоторой внутренней степенью свободы, связанной с его собственным моментом количества движения, не зависящим от движения его в пространстве. Эту внутреннюю степень свободы (и соответствующий ей собственный момент количества движения электрона) принято называть английским словом («спин»).

Свойства собственного (спинового) момента количества движения электрона можно изучать исходя из перестановочных соотношений для обычного (орбитального) момента количества движения

если считать, что спиновый момент удовлетворяет тем же перестановочным соотношениям, и ввести гипотезу о том, что операторы для каждой из составляющих спинового момента электрона имеют два и только два собственных значения, которые отличаются лишь знаком.

Операторы для составляющих спинового момента можно положить равными

где самосопряженные операторы, имеющие простые собственные значения, равные ±1. Множитель вытекает из требования, чтобы операторы (3) удовлетворяли соотношениям (2).

При вычислении спина в единицах (а не ) удобно пользоваться вместо операторами

Эти операторы будут применяться в части IV при рассмотрении многоэлектронной задачи.

Перестановочные соотношения для операторов имеют вид

Но мы имеем тождественно

и, вследствие предыдущих соотношений,

Согласно нашей гипотезе, собственные значения равны ±1, так что имеет единственное собственное значение и будет уже не оператором, а числом, коммутирующим с любым оператором, в том числе с оператором Поэтому правая часть последнего уравнения равна нулю. Записывая это равенство вместе с двумя аналогичными равенствами, мы будем иметь

Сопоставляя равенства (4) и (5), мы получаем

Кроме того, мы имеем

Величины можно рассматривать либо как матрицы, состоящие из двух строк и столбцов, либо как операторы, действующие на функцию от некоторой новой (дополнительной к координатам) переменной , принимающей только два значения, например значения Обозначая эту функцию через где есть совокупность трех пространственных координат, мы можем удовлетворить соотношениям (6) и (7), положив, например,

Если записать функцию в виде столбика

где то предыдущие формулы напишутся

Таким образом, операторы принимают форму матриц

где

Эти матрицы носят название матриц Паули Выбор матриц для операторов определен лишь с точностью до канонического преобразования (соответствующего линейной подстановке над величинами Поэтому, если, как это принято в литературе, разуметь под численные матрицы (12), а сохранить за физический смысл, вытекающий из формул (8), то равенства (11) не являются обязательными, но могут быть заменены другими эквивалентными равенствами.

Операторы удовлетворяющие уравнениям (6) и (7), обладают векториальным характером в том смысле, что если мы введем три линейные комбинации

где суть косинусы углов между двумя системами прямоугольных координат, то новые операторы будут обладать такими же свойствами (6) и (7), как и старые Отсюда следует, что если мы будем рассматривать эти величины как составляющие вектора, то проекции этого вектора на любое направление будут иметь собственные значения ±1. Заметим, что если мы, согласно (11), возьмем в качестве матрицы (12), то выражения (13) дают самый общий вид матриц с двумя строками и столбцами, удовлетворяющих условиям (6) и (7).

Три матрицы (12) вместе с единичной матрицей образуют полную систему в том смысле, что всякую матрицу с двумя строками и столбцами (т. е. с 4 элементами) можно выразить в виде линейных комбинаций этих четырех с численными коэффициентами. Если заданная матрица — самосопряженная, то эти коэффициенты будут вещественными.

Переходим к построению операторов для полного момента количества движения. Приняв для операторов спинового момента количества движения выражения (3), мы приходим к выводу, что операторы для полного момента количества движения электрона имеют вид

По общему свойству момента количества движения, операторы для результирующего момента количества движения удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, как и операторы для слагаемых, так что мы должны иметь, аналогично (2),

Равенства (15) можно проверить и непосредственно, используя

соотношения (2) и (4) для и для и тот факт, что орбитальный и спиновый моменты количества движения между собой коммутируют.

Из составляющих орбитального и спинового момента количества движения можно построить такую билинейную комбинацию, которая коммутировала бы с каждой из составляющих полного момента количества движения. В самом деле, положим

или, что то же самое,

Мы имеем по свойству

и по свойству

Складывая эти два равенства, получаем в правой части нуль. Выражение в левой части и аналогичные выражения для составляющих по осям у и можно записать в виде

Установим связь между оператором и применяемым в теории Шредингера оператором для квадрата орбитального момента количества движения. Мы имеем

С другой стороны, если мы возьмем сумму квадратов операторов (14) для составляющих полного момента количества движения и воспользуемся соотношением (18), мы получим

Таким образом, квадрат вектора отличается от квадрата скаляра только слагаемым Мы будем называть оператор спиново-орбитальным скаляром момента количества движения.

Правая часть (18) есть оператор, встречающийся в теории Шредингера и не содержащий матриц Паули. Его собственные значения равны где целое положительное число

или нуль. Поэтому если мы обозначим собственные значения оператора через то будем иметь

откуда при данном

Но величина не может равняться нулю. В самом деле, из формулы (19) следует, что математическое ожидание оператора в любом состоянии будет больше Поэтому уравнение

для собственных функций оператора не может иметь собственного значения, равного нулю. Это значит, что при единственное возможное значение есть 1, а при 1 существуют два значения даваемые формулой (21).