5.8.6. КРИТЕРИЙ РАВЕНСТВА ДВУХ ДИСПЕРСИЙ

Пусть — выборка, составленная из наблюдений случайной величины X, подчиняющейся нормальному распределению с параметрами — выборка из наблюдений нормальной случайной величины У с параметрами Согласуются ли данные с нулевой гипотезой что (и, скажем, равны общему значению )?

Определим следующие величины:

Тогда, если гипотеза справедлива, то

распределены независимо как соответственно [см. раздел 2.5.4} (как обычно, обозначение относится к распределению хи-квадрат с степенями свободы). Отсюда следует, что «дисперсионное отношение» [см. раздел 2.5.6]

оказывается реализацией случайной величины, подчиняющейся -распределению с и степенями свободы, которое мы для краткости называем распределением [см. также пример 4.5.7].

1) Альтернативная гипотеза При нулевой гипотезе значение скорее всего будет близко к единице, а большие значения этого отношения неправдоподобны, тогда как при альтернативе более вероятны именно большие значения отношения. Соответствующая область значимости будет, таким образом, верхним хвостом F-pacnpeделения, лежащим под значением а уровень значимости равен

(При такой альтернативной гипотезе значения меньше 1 считаются согласующимися с нулевой гипотезой.) Кривая, изображающая плотность -распределения, приведена на рис. 2.5.2.

2) Альтернативная гипотеза Здесь значение отношения при альтернативе будет малым, так что уровень значимости равен

В опубликованных таблицах обычно эти нижние хвосты распределения не приводятся. Но все сводится к случаю 1), если поменять местами так что уровень значимости будет равен:

3) Двухсторонняя альтернатива В этой ситуации уровень значимости наблюденного отношения равен

Пример 5.8.4. Равенство двух дисперсий. В разделах 5.8.3 и 5.8.4 мы рассматривали выборки объема с выборочными дисперсиями так что

Таким образом, уровень значимости этого отношения применительно к нулевой гипотезе о равенстве дисперсий против двухсторонней альтернативы равен:

В таблицах -распределения [см., например, приложение 7] не приводятся значения для таких значений в них содержатся значения статистики как функции от величины где большее из чисел Соответствующий раздел одной из наиболее подробных таблиц -распределения дает приведенные в табл.

5.8.1 значения для и . Интерполированные значения которые и требуются для нашего примера, приведены в последнем столбце этой таблицы, заключенном в скобки. (В опубликованных таблицах эти последние значения не содержатся.)

Видно, что наше значение дисперсионного отношения, равное 2,57, при 19 степенях свободы в числителе и 9 в знаменателе находится между отвечающими 0,100 и 0,050 процентными точками; это приводит к вероятности, примерно равной 0,080, так что получаемый при ее удвоении уровень значимости составляет 0,16. Поскольку это довольно высокое значение, данные следует считать незначимыми, т. е. согласующимися с нулевой гипотезой.

Подчеркнем, что этот критерий чувствителен к нарушениям предположения о нормальности.