4.11.3. ВЫБОРОЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИКИ КОЛМОГОРОВА—СМИРНОВА. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Легко видеть, что выборочное распределение [см. определение 4.11.1] не зависит от исходной функции распределения Чтобы убедиться в этом, рассмотрим преобразование X в Функция распределения У есть заданная в точке соотношением

так как монотонно возрастает. Отсюда эмпирическая функция распределения есть заданная равенством

следовательно,

Теперь пусть — эмпирическая функция распределения, построенная по реализациям случайной величины X, функция распределения которой есть Отсюда следует, что — эмпирическая функция распределения, построенная по реализациям случайной величины которая имеет равномерное распределение на [см. II, теорема 10.7.2]. Поэтому выборочное распределение определяется свойствами именно равномерного распределения и никоим образом не зависит от Имеем

Это распределение табулировано [см., например, Owen (1962); Harter and Owen (1970), т. 1 — G]. Чтобы построить 95%-ные доверительные пределы, необходимо знать для каждого значение такое, что Эти значения доступны [см. табл. 4.11.2] также и для 99%, 98%, 90% и т. д. Для например, 95%-ное значение есть 0,409, так что

Пример 4.11.2. Доверительная полоса для функции распределения. Для выборки объема

Следовательно, неравенства для каждого х

определяют 95%-ную доверительную полосу для функции распределения которая считается неизвестной. Поскольку также

можно уточнить границы (4.11.6) до

где

Для выборки из 10 наблюдений из примера 4.11.1 эмпирическая функция распределения была приведена в табл. 4.11.1. Доверительная полоса (по формуле (4.11.8)) приведена в табл. 4.11.2.

Таблица 4.11.2. (см. скан) Доверительная полоса (4.11.8)

Мы видим, что доверительная область безнадежно широка. Поэтому невозможно получить достаточно точную оценку функции распределения исходя из выборки малого объема. (Значение 0,409, решающее при убывает до 0,294 при до 0,242 при до 0,210 при и далее асимптотически при больших как все это относится к 95%-ному уровню доверия.)

Асимптотически при распределение величины (на практике при ) имеет весьма простой вид:

где

Несколько значений (в процентах) приведены в табл. 4.11.3.

Таблица 4.11.3. Процентные точки распределения Колмогорова—Смирнова (4.11.9)

Для выборки объема 100, например, 95%-ная доверительная область определяется неравенствами

Можно вычислить, что для построения 95%-ной доверительной полосы, ширина которой не превосходит 0,1, необходима выборка такого объема что

т. е. приблизительно равно 740.