Пусть
порядковые статистики [см. II, раздел 15.1] выборки объема
из заданного распределения, так что
Выборочная плотность распределения
есть
где В(и,
— бета-функция [см. IV, раздел 10.2].
Теперь, если
— случайная величина, реализацией которой является
и
то, делая замену
и используя равенство
(откуда
получаем
так называемую неполную бета-функцию. Этот результат не зависит от функции распределения
, т. е. свободен от распределения. С помощью соответствующего соотношения для совместного распределения порядковых статистик
аналогичным образом можно показать, что интервал
является свободным от распределения доверительным интервалом для с коэффициентом доверия
Значения
содержатся в опубликованных таблицах неполной бета-функции [см. Thompson (1941) - G]. Они также могут быть вычислены на основе биномиальных таблиц, так как
(здесь в правой части — вероятность того, что значение биномиальной величины не меньше а).
Пример 4.8.1, Крайние по величине значения
выборки объема 10 являются граничными точками интервала (4.8.1) для медианы (квантиля
с уровнем доверия (4.8.2), а именно
Аналогично интервал
является доверительным интервалом для медианы, но с уровнем доверия