4.8. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ КВАНТИЛЕЙ, НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ИСХОДНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ СВОБОДНО)

В этой главе доверительные интервалы строились исходя из выборочного распределения рабочей статистики. Однако встречаются ситуации, когда доверительные интервалы можно построить, не затрагивая исходного распределения. Например, свободный от распределения доверительный интервал может быть построен для квантилей (иногда говорят — фрактилей, процентилей) данного непрерывного распределения. Квантиль уровня или -квантиль функции распределения есть такое которое удовлетворяет уравнению

Пусть порядковые статистики [см. II, раздел 15.1] выборки объема из заданного распределения, так что

Выборочная плотность распределения есть

где В(и, — бета-функция [см. IV, раздел 10.2].

Теперь, если — случайная величина, реализацией которой является и

то, делая замену и используя равенство (откуда получаем

так называемую неполную бета-функцию. Этот результат не зависит от функции распределения , т. е. свободен от распределения. С помощью соответствующего соотношения для совместного распределения порядковых статистик аналогичным образом можно показать, что интервал

является свободным от распределения доверительным интервалом для с коэффициентом доверия

Значения содержатся в опубликованных таблицах неполной бета-функции [см. Thompson (1941) - G]. Они также могут быть вычислены на основе биномиальных таблиц, так как

(здесь в правой части — вероятность того, что значение биномиальной величины не меньше а).

Пример 4.8.1, Крайние по величине значения выборки объема 10 являются граничными точками интервала (4.8.1) для медианы (квантиля с уровнем доверия (4.8.2), а именно

Аналогично интервал является доверительным интервалом для медианы, но с уровнем доверия