2.5.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ДИСПЕРСИЙ (F-распределение)
a) F как взвешенное отношение 
-переменных. Дисперсионный анализ, наиболее широко применяемый по сравнению с другими статистическими методами, в большой мере зависит от возможности сравнения взаимно независимых сумм квадратов, которые пропорциональны 
-переменным. Основной статистикой в нем является реализация случайной величины
где 
— взаимно независимые 
-переменные с 
Ее распределение называется 
-распределением с 
степенями свободы. Символ 
— дань Р. Фишеру. Сам Фишер, однако, предпочитал статистику 
Из определения 2.5.1 следует, что 
квадрат отношения Стьюдента 
степенями свободы), имеет 
-распределение 
. (Может возникнуть вопрос, почему статистики не пользуются более простой случайной переменной 
Ответ заключается в том, что коэффициент 
в определении 
играет роль удобного нормирующего коэффициента. Математическое ожидание 
близко к единице, точнее говоря, оно равно 
для всех значений 
Распределение 
можно вывести прямым вычислением. Функция плотности вероятности 
в точке 
равна 
определенной в (2.5.15), поэтому п.р.в. 
в точке 
есть
Аналогично, п.р.в. 
в точке у равна:
Наконец, п.р.в. 
является сверткой [см. II, гл. 
откуда плотность 
в точке 
выражается как
где
Типичная функция плотности вероятности показана на рис. 2.5.2. Ожидаемое значение и дисперсия даются выражениями
и
Заметим, что математическое ожидание зависит только от 
Функция распределения 
табулирована во многих справочных изданиях, но только в виде процентных точек (квантилей). В нашей таблице (см. приложение 7) приведены верхние процентные точки 
такие, что
для 
, для 
В табл. 7 из [Pearson and Hartley (1966), приложение 
можно найти дополнительные значения для 
.
В таблицах, как правило, приводятся значения 
только такие, что 
Для получения значений 
можно пользоваться соотношением
Оно позволяет найти значения нижних процентных точек. Например, нижнюю 5%-ную точку для 
находят как 
Поскольку для верхней 5%-ной точки 
таблица дает значение 2,35, для нижней 5%-ной точки 
получаем 
Эти результаты следуют из
б) Связь между 
-распределением и бета-распределением. Говорят, что с.в. Y имеет бета-распределение с параметрами 
если ее плотность в точке у равна:
где 
— бета-функция с параметрами 
[см. II, раздел 11.6].
Если 
— независимые 
-переменные с 
и 
степенями свободы, 
то Y имеет бета-распределение с параметрами 
[см. II, раздел 11.6.3]. Отсюда следует, что
и поэтому переменная 
имеет 
-распределение.
в) Аппроксимация для 
-распределения, когда одна степень свободы гораздо больше, чем другая. Если 
имеет 
-распределение с 
степенями свободы, нетрудно установить, что
где, как обычно, 
-переменная имеет распределение 
Практическим следствием из этого является то, что при 
В качестве иллюстрации в Примере 5.10.1 рассматривается проблема оценивания
Она возникает из-за того, что число степеней свободы оказывается гораздо больше, чем в любой из существующих таблиц. Используя приведенную выше аппроксимацию, получим
(интерполируя с помощью таблицы распределения 
). Аналогично если в переменной 
то
