7.1.2. АДЕКВАТНОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ

В разделе 6.5.3 и примере 6.5.1 мы имели дело с подгонкой линейной регрессионной модели к данным, для которых, возможно, более подходит некоторая кривая линия регрессии. При принятых процедурах оценивания исходили из того, что линейная модель, указанная на рис. 6.5.2, была адекватной. Имея редкие и рассеянные данные, трудно идти дальше; очевидно, чтобы обнаруживать малые отклонения, нужны большие выборки. В рассмотренном примере массивы данных достаточно многочисленны, и можно использовать объективный критерий. Это связано с тем, что при справедливости основного допущения гомоскедастичности внутригрупповая сумма квадратов w в табл.

5.8.5 дает одну оценку дисперсии , а именно а выражение (6.5.11) — другую, независимую, оценку. Первая является состоятельной независимо от того, линейна регрессия или нет; состоятельность второй оценки зависит от наличия линейности. Поэтому если эти две оценки заметно различаются, то предположение линейности следует отвергнуть. Процедура состоит в разложении «межгрупповой» суммы квадратов на часть, объясняемую линейной регрессией, и часть, представляющую отклонения от регрессии. Последняя сразу получается из табл. 6.5.4; она равна:

Отсюда первая часть равна: Мы получаем таблицу дисперсионного анализа:

Если мы объединим эту таблицу с таблицей 5.8.5, то окончательно получим следующую таблицу данных:

Если бы линейная гипотеза была справедлива два «средних квадрата», представленных в таблице, были бы независимыми оценками одной и той же величины а их отношение реализацией случайной величины, имеющей -распределение с числом степеней свободы 7 и 814. Математическое ожидание этой случайной величины очень близко к 1, и такое большое значение, как 12, весьма маловероятно. Уровень значимости существенно меньше 0,1% (имеющиеся таблицы не позволяют сформулировать более точное утверждение), поэтому линейную гипотезу следует отвергнуть. Для удовлетворительного описания данных нужна более продуманная модель, может быть, такого типа: