3.5.3. МЕТОД МОМЕНТОВ

Пусть — выборка наблюдений случайной величины X, п.р.в. которой в точке х равна где — неизвестные параметры. Пусть

— моменты X (относительно начала) [см. раздел 2.1.2]. Здесь — известные функции неизвестных параметров. Соответствующие моменты выборки есть

Метод моментов основывается на интуитивном представлении о том, что моменты выборки приблизителыю равны моментам генеральной совокупности. Моментные оценки находят приравниванием первых к моментов генеральной совокупности соответствующим моментам выборки и решением полученных уравнений

Этот метод прост в применении и, хотя ему недостает твердого теоретического обоснования, часто дает приемлемые результаты. Но оценки могут быть и очень низкой эффективности. Обычно этот метод предшествует методу максимального правдоподобия [см. раздел 3.5.4], который часто требует численного решения нелинейных уравнений. По этой причине метод моментов ранее был наиболее популярным, но при современных возможностях вычислений степень его распространенности существенно снизилась. Моментные оценки могут, однако, служить полезными и легко получаемыми первыми приближениями в итеративном процессе решения уравнений правдоподобия [см. пример 6.4.3].

Пример 3.5.2. Оценивание параметров нормального распределения методом моментов. В случае распределения имеем

и

Следовательно, уравнения моментов принимают вид

и

.

Отсюда моментные оценки:

Как будет видно из раздела 6.4.1, моментные оценки в этом примере совпадают с оценками по методу наибольшего правдоподобия.

Пример 3.5.3. Оценивание параметров гамма-распределения с помощью моментов. В случае гамма-распределения с параметром формы а, параметром масштаба и п.р.в.

первые два начальных момента равны:

и

Следовательно, моментные оценки выборки для это корни уравнений

а именно

[Оценивание этих параметров обсуждается в примере 6.4.3.]