9.11. ФАКТОРЫ НА ТРЕХ И БОЛЕЕ УРОВНЯХ

Ясно, что планы с полным перебором факторов на всех уровнях не ограничиваются двухуровневыми факторами. Представления о главных эффектах, взаимодействиях и смешивании можно распространить на планы, в которых факторы имеют три или более уровней. Однако мы ограничимся лишь простыми частными случаями.

9.11.1. ЛАТИНСКИЙ КВАДРАТ

Самый важный из частных случаев — это план латинского квадрата, когда рассматриваются три фактора, каждый на 5 уровнях, где может быть равно 2, или 3, или 4, или Для каждого фактора можно оценить дифференциальный эффект уровней и у, но нет информации о взаимодействии между факторами. Такой план, в частности, приемлем для экспериментов, где разумно считать, что три фактора будут независимыми (т. е. не будут иметь взаимодействий). В качестве примера можно рассмотреть эксперимент с исследованием зависимости ходимости автомобильных шин от давления в камере, положения колеса и скорости езды. Прежде всего предположим, что между давлением, положением колеса и скоростью нет взаимодействий (для любой пары). Затем, поскольку у автомобиля 4 колеса, а значит, и 4 возможных положения, число уровней для давления и для скорости тоже надо положить равным 4. Тогда комбинации давления положений и скоростей можно представить в квадратной таблице:

Здесь четыре уровня одного фактора задаются четырьмя столбцами, четыре уровня другого фактора четырьмя строками, а уровни последнего фактора располагаются в квадратной решетке задаваемой строками и столбцами, образующими как раз латинский квадрат, т. е. решетку, устроенную таким образом, что каждый из четырех символов встречается однажды в каждой строке и однажды в каждом столбце. (Латинские квадраты обычно описываются с помощью латинских букв Вот примеры латинских квадратов в таких обозначениях:

Существуют таблицы латинских квадратов различных размеров [см., например, Fisher and Yates (1957) - G]. В таблицах они представлены в стандартных формах. Одну из них можно выбрать случайно. Один квадрат из семейства можно получить с помощью рандомизации. Наконец, распределение факторов по строкам, столбцам и латинским буквам тоже проводится случайно.)

Полный факторный план для трех факторов на четырех уровнях требует комбинаций обработок в каждой реплике-повтора. А латинский квадрат требует всего 16 таких комбинаций. Экономия достигается здесь, конечно, за счет потери информации относительно взаимодействий.

Если мы обозначим символом результаты эксперимента, соответствующего строке, столбцу и уровню «латинской буквы», , то данные для квадрата с положением давлением и скоростью примут вид

Отсутствие взаимодействий между факторами влечет за собой аддитивность их эффектов. Из представленного варианта таблицы хорошо видно, что сумма откликов в столбце с будет оценивать эффект усредненный по всем положениям и скоростям, . Значит, дифференциальный эффект увеличения давления от уровня 1 до уровня 2, усредненный по всем положениям и скоростям, можно оценить по разности между суммой столбца 2 и суммой столбца 1. Аналогично разность между итогами строк оценивает дифференциальный эффект положения колеса в позициях Если, наконец, мы возьмем сумму четырех наблюдений (1,1, 1), (2, 2, 1), (4, 3, 1), (3, 4, 1),

соответствующих уровню 1 факторов скорости, и вычтем из нее сумму четырех измерений (2, 1, 2), (4, 2, 2), (3, 3, 2), (1, 4, 2), соответствующую то получим оценку дифференциального эффекта от увеличения скорости испытания автомобиля при переходе от уровня 1 к уровню 2.

Модификация: фиктивные уровни. Отметим, что можно ослабить требование об одинаковом числе уровней для всех факторов. Положим, например, что испытания ходимости шин приходится проводить на машине, имеющей только три скорости, а именно Мы можем подогнать эту ситуацию под схему латинского квадрата, сохранив исходный план и приравняв к одной из скоростей. Если, например, наивысшая скорость требует повышенного внимания, мы можем положить