5.8.5. t-КРИТЕРИЙ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАЧИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА РЕГРЕССИИ В ПРОСТОЙ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ

Предположим, мы измеряем рост х и вес у каждого из индивидуумов, так что получены данные Это может быть также ростом х отца и ростом у его старшего сына или температурой х, до которой нагревается сталь, и результирующим растяжением у и т. д. Наблюдения можно считать независимыми реализациями пары случайных величин (X, У). Часто полезно исследовать одно или оба условных математических ожидания Они называются соответственно регрессией Y на и регрессией X на Во многих ситуациях одна, а то и обе регрессии оказываются линейными функциями. В случае анализа взаимосвязи между ростом отцов (X) и ростом сыновей например, регрессия

булет (при разумной аппроксимации) линейной функцией от скажем,

[см. примеры 4.5.3 и 4.5.4]. Если на плоскость нанести точки то получится полоса, указывающая линейный тренд. Чтобы оценить удобнее представить уравнение прямой в виде

где так что . Оценка методом наименьших квадратов [см. гл. 8] приводит к таким результатам:

для а и

для . Если условное распределение У при заданном для каждого х можно считать нормальным с параметрами , то представляют собой реализации независимы нормальных случайных величин с параметрами . В таком случае подходящей оценкой служит

поскольку

и

оказываются независимыми реализациями распределения Стьюдента, причем каждая из них обладает степенями свободы. Поэтому с помощью распределения Стьюдента можно построить критерии значимости, позволяющие получить ответы на вопросы:

значимо ли а отличается от принятого значения параметра а?

значимо ли отличается от принятого значения параметра Численные примеры и другие детали этих проблем рассматриваются в разделе 6.5.

Пример 5.8.3. Значимость коэффициента наклона. Часто приложение этой схемы связано с таким вопросом: влияют ли вообще значения х на значения у, т. е. не равно ли 13 нулю? Другими словами, не объясняется ли отличие от нуля только случайными флуктуациями? Соответствующая нулевая гипотеза состоит в том, что . Тогда

реализация отношения Стьюдента с степенями свободы. Если альтернативная гипотеза состоит в том, что , то нужен двухсторонний -критерий, а уровень значимости выборки равен

где Т подчиняется распределению Стьюдента с степенями свободы, выражается по формуле (5.8.14), тогда как находят из соотношения Затем значимость оценки интерпретируется с помощью полученной величины в соответствии с табл. 5.1.2.

Значимость а относительно нулевой гипотезы можно проверить аналогично и независимо против гипотезы если вычислить

При нулевой гипотезе эта статистика подчиняется распределению Стьюдента с степенями свободы с разделом 5.8.2].