6.4. ПРИМЕРЫ О.М.П. В МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ

Пример 6.4.1. Нормальное распределение. Если случайная величина X нормально распределена с параметрами , то функция правдоподобия для по данным равна:

Найдем производные по параметрам

Оценки максимального правдоподобия являются решением системы уравнений

откуда

Далее находим

поэтому

Таким образом, приближенной ковариационной матрицей D о.м.п., как следует из (6.2.17д), будет

Отсюда следует, что приближенными выборочными дисперсиями для будут соответственно а ковариация между приближенно равна нулю. Численные значения оценок дисперсии находятся по формулам

Если в качестве параметров взять то

Таким образом,

Здесь — несмещенная оценка, а имеет небольшое смещение; точное математическое ожидание равно

Пример 6.4.2. Логарифмически нормальное распределение. Положительная случайная переменная подчиняется логарифмически нормальному (логнормальному) распределению, если имеет нормальное распределение. Таким образом, где X распределено нормально с параметрами, скажем, [см. раздел 6.6.1]. Для случайной величины равна

а функция правдоподобия, если опустить множитель ( для и а по данным имеет вид

Положим

Легко видеть, что тогда функция правдоподобия совпадает с (6.4.1). Отсюда следует, что метод максимального правдоподобия для логнормального распределения совпадает с методом максимального правдоподобия для нормального распределения с заменой наблюдения на его логарифм

Пример 6.4.3. Гамма-распределение. Допустим, имеется выборка объема из двухпараметрического гамма-распределения с функцией плотности

где а — параметр формы, — параметр масштаба [см. II, раздел 11.3.1]. Предположим, что данные представлены в векторной форме. Функция правдоподобия, как легко проверить, в этом случае равна

а ее логарифм

Уравнения правдоподобия имеют вид

Из второго уравнения следует, что

где — о.м.п. параметров среднее выборки. Подставляя полученное соотношение в первое уравнение правдоподобия, приходим к нелинейному уравнению относительно а:

где

Для иллюстрации рассмотрим выборку из гамма-распределения с параметрами Каждое наблюдение было получено суммированием четырех последовательных независимых реализаций квадрата нормальной случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией [см. Barnett (1965) - F]. Выборка имеет следующий вид:

При

Метод максимального правдоподобия приводит к нелинейному уравнению относительно а:

где

После того как значение а будет получено, оценку 0 находят из уравнения

Метод моментов. Метод моментов заключается в приравнивании значения как функции от параметров к соответствующим выборочным моментам [см. (2.1.7)], — число неизвестных параметров. При двухпараметрическом гамма-распределении метод моментов приводит к следующим уравнениям:

что для гамма-распределения дает систему уравнений

Решением этой системы будут значения

Они могут быть взяты в качестве начального приближения для итеративного процесса решения уравнений правдоподобия. Результаты подобного итеративного процесса, основанного на методе Ньютона — Рафсона (метод касательных), представлены в таблице:

Итак, откуда с истинными значениями .

Точность оценивания определяется матрицей ковариации V о.м.п. а и 0, обратная к которой, как следует из раздела 6.2.5, а), имеет вид

откуда

Для нашей выборки . В соответствии с разделом 4.9, на основе полученных величин можно построить приближенный 95%-ный доверительный интервал для а:

т. е.

Аналогично строится приближенный 95%-ный доверительный интервал для т.е. Совместное рассмотрение этих доверительных интервалов требует определенной осторожности, поскольку прямоугольник, построенный на основе этих интервалов, не будет накрывать истинное значение пары параметров с вероятностью

Для построения совместной 95%-ной доверительной области [см. раздел 4.9.2] рассмотрим область, ограниченную эллипсом (4.9.6), т. е. в нашем случае

Этот эллипс показан на рис. 6.4.1. Заметим, что при левая часть (6.4.2), равная 0,354, меньше правой, значит, точка лежит внутри доверительной области. Таким образом, построенный довери тельный эллипс накрывает истинное значение параметров

Рис. 6.4.1. (см. скан) 95%-ный доверительный эллипс для из примера 6.4.2. Уравнение этого эллипса задается в (6.4.2)

Пример 6.4.4. В случае марковской цепи, обсуждавшейся в примерах 6.2.5 и 6.2.7, параметры а матрицы вероятностей перехода

имеют функцию правдоподобия вида

В примере 6.2.7 было найдено достаточно удовлетворительное начальное приближение максимума функции правдоподобия Вычисление значения функции на сетке значений параметров в окрестности начального приближения привело к следующим результатам

(см. скан)

Как видно из этой таблицы, максимум функции правдоподобия достигается вблизи точки (0,070, 0,61). Дальнейшие расчеты на более мелкой сетке в окрестности найденного максимума привели к следующим результатам:

Отсюда следует, что с достаточной степенью точности можно считать, что максимум достигается в точке

[ср. с рис. 6.2.6].

Для построения приближенной ковариационной матрицы необходимо обратить матрицу (6.2.17д), т. е.

которая для нашего примера равна:

Обратная к ней будет следующая:

т. е.

Приближенным 95%-ным доверительным эллипсом будет область, задаваемая уравнением

как в (4.9.6). Например, при подстановке в левую часть этого равенства значений получим 1,02. Это значение меньше 6, поэтому соответствующая точка принадлежит 95%-ной доверительной области. Наоборот, при значение левой части равно 13,1, что превосходит 6, т. е. точка (0,2, 0,5) не принадлежит доверительной области. Другими словами, можно считать, что истинное значение параметров отличается от (0,2, 0,5) с 5%-ным уровнем значимости (ошибки).