4.3. ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА С ПОМОЩЬЮ ОПОРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
В примере 4.2.1 построение доверительного интервала (4.2.4) было основано на использовании уравнения (4.2.1), которое выражает свойства распределения величины 
(т. е. выборочного распределения величины 
). Так как распределение 
свободно от влияния параметра (а именно, это стандартное нормальное распределение), можно построить 95%-ный интервал вероятности 
как это сделано в (4.2.1). Поскольку случайная величина 
зависит как от случайной величины X, реализацию х которой мы наблюдали, так и от неизвестного параметра 
неравенства (4.2.2) можно было переписать в обращенной форме (4.2.3), где неизвестный параметр 
заключен в интервал, границы которого определяются с помощью значения наблюдаемой случайной величины 
. Столь важная здесь величина 
— пример опорной случайной величины 
которую мы сейчас и определим.
Определение 4.3.1. Опорная случайная величина. Пусть 
— наблюдаемые значения случайной величины X, распределение которой зависит от неизвестного параметра 
— некоторая статистика. Случайная величина 
называется опорной случайной величиной, если ее выборочное распределение не зависит от параметра в.
Если в распоряжении имеется такая опорная переменная, то можно пользоваться следующей процедурой: опорная случайная величина 
есть реализация случайной величины 
, где 
Здесь 
как всегда, — статистические копии X [см. определение 2.2.1]. Обозначим (не содержащую параметра) функцию распределения 
как 
и построим симметричный 
-ный (например, 95%-ный) вероятностный интервал 
для 
т. е. интервал 
такой, что
(так же, как в 
Тогда мы имеем
или
[ср. с (4.2.1)]. Затем решим относительно 
неравенства
[ср. с (4.2.3)]. В результате йолучим соотношения
[ср. с (4.2.4)]. Их можно переписать в виде
причем последнее соотношение выполнено с вероятностью р [ср. с определением 4.2.1]. Таким образом, 
-ным доверительным интервалом для в будет
где 
— статистика, лежащая в основе нашего построения.
Пример 4.3.1. Доверительный интервал для параметра показательного распределения. Пусть X — случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону [см. II, раздел 10.2.3] с математическим ожиданием В, так что плотность распределения X в точке х есть 
Из выборки 
определяется (достаточная [см. раздел 3.4.1)] статистика 
).
Она является реализацией случайной величины Н - где статистические копии X. Н имеет гамма-распределение [см. II, раздел 11.3], плотность которого задается в виде 
Отсюда видно [см. II, раздел 10.7], что величина 
имеет плотность распределения 
Эта плотность не содержит параметра, и, следовательно, случайная величина 
является опорной для в. Можно построить симметричный 95%-ный вероятностный интервал для 
с помощью таблицы распределения 
[см. приложение 6], так как 
имеет распределение 
степенями свободы [см. раздел 2.5.4, а), п. 2].
Например, если 
то соответствующее распределение 
имеет 20 степеней свободы, и согласно приложению 6 симметричный 95%-ный вероятностный интервал для 
есть интервал (9,591, 34,170). Соответствующий интервал для 
есть (4,795, 17,085), откуда
или, что эквивалентно,
[ср. с (4.3.2,), где 
] Обратив неравенства
[ср. с (4.3.3)], получим
или
что выполнено с вероятностью 0,95. Таким образом, 95%-ный доверительный интервал для в — этот интервал 
где 
в нашем случае х обозначает наблюденное выборочное значение. Итак, доверительный интервал для неизвестного значения в (математического ожидания) есть 
При х, равном, скажем, 2,1, доверительным интервалом для в (с коэффициентом доверия 95%) будет (1,23, 4,38).
