6.2.6. ОЦЕНИВАНИЕ ФУНКЦИИ ПАРАМЕТРА «тетта». СВОЙСТВО ИНВАРИАНТНОСТИ

При решении уравнений правдоподобия относительно параметра нередко оказывается, что их проще решить относительно какой-либо функции от него, например [см. пример 4.3.12]. В этом случае уравнение правдоподобия необязательно решать относительно

в. Обозначим эту функцию через и допустим, что — взаимно однозначная дифференцируемая функция, т. е. существуют и не равны нулю. Тогда, если через и обозначить о.м.п. параметров в и то

Например, если то если то Действительно, в регулярном случае функция правдоподобия относительно может быть записана как

откуда

О.м.п. ф определяется как корень уравнения Но при т. е. когда . Поскольку по условию последнее уравнение эквивалентно откуда следует, что Доказанное свойство о.м.п. часто называется свойством инвариантности.

Между дисперсией , рассчитываемой по формуле (6.2.17а), и дисперсией оценки можно установить приближенную зависимость. Двойное дифференцирование логарифма функции правдоподобия приводит к

Поскольку при то

откуда окончательно получаем приближенную формулу

где — дисперсии о.м.п. параметров и соответственно, производная рассчитывается при Например, для получим

При двух неизвестных параметрах дисперсия функции от приблизительно равна:

где обозначает ковариацию между