4.6. ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОПОРНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В разделе 4.3 было показано, как построить доверительный интервал в случае одного неизвестного параметра с помощью опорной переменной. Такую переменную всегда можно найти, если функция распределения наблюдений непрерывна по х. Заметим, что для случайного наблюдения выборочное распределение случайной величины является равномерным на отрезке [см. II, раздел

10.2.1] по теореме о преобразовании с помощью интеграла вероятностей [см. II, теорема 10.7.2]. Это распределение не зависит от параметров. Отсюда ясно, что любая функция от величин будет опорной переменной. Такой, в частности, будет случайная величина , функцию распределения которой можно найти исходя из того, что величина есть реализация гамма-распределения с плотностью Однако решение неравенств (4.3.3) может быть трудным, поэтому для подобных ситуаций желательно иметь альтернативный метод. Такой метод здесь будет рассмотрен.

Пример 4.6.1. Доверительные пределы для параметра формы гамма-распределения. Пусть случайная величина X имеет гамма-распределение с параметром сдвига X и параметр масштаба 1, т. е. плотность этого распределения есть

так что [см. II, раздел 11.3].

Пусть имеется выборка . Как уже отмечалось, доверительный интервал (если он может быть найден) будет существенно зависеть от выбора «рабочей» статистики. Опыт показывает, что лучше всего взять достаточную статистику. В нашем случае это — величина, с которой трудно работать. Поэтому мы используем статистику

Это несмещенная оценка реализация случайной величины с плотностью распределения [см. II, раздел 11.3.2]

где что и с функцией распределения

При любом значении в можно найти центральный 95%-ный вероятностный интервал для взяв так, чтобы

[см. раздел 4.1.3]. Например, для получаем

так как имеет распределение с 4 степенями свободы [см. раздел

2.5.4, а)]. Из таблиц распределения [см. приложение 6] видно, что , откуда . Аналогично . Можно провести вычисления для других значений в и получить результаты, как в табл. 4.6.1 (в которой значения соответствующие данному , обозначены как

Таблица 4.6.1. (см. скан) Значения такие, что где имеет гамма-распределение с параметром

Рис. 4.6.1. Графики функций из табл. типичное значение величины при котором точка лежит между кривыми. Рисунок демонстрирует равнозначность условий

Таким образом, мы сумели получить те же результаты, что и с использованием опорной статистики в (4.3.5) из примера 4.3.1, и разница состоит лишь в том, что границы доверительных интервалов найдены по таблицам, а не с помощью явных формул. Теперь наша задача решить неравенство

(которое выполнено с вероятностью 0,95), т. е. получить эквивалентное (и выполненное с той же вероятностью) неравенство вида

Обе функции непрерывные, монотонно возрастающие, как показано на рис. 4.6.1. Предложение иллюстрируется расположением точки , где лежит не выше графика Так как график непрерывен и монотонен, функция обратима [см. IV, раздел 2.7], т. е. существует единственное значение такое, что которое можно найти, проведя горизонтальную прямую через точку и отметив абсциссу точки ее пересечения с графиком. Так как функция возрастает, . Получаем, что предложение эквивалентно предложению где скажем) Аналогично, глядя на нижнюю кривую находим, что предложение логически эквивалентно предложению

где . Следовательно, предложение

(выполненное с вероятностью эквивалентно предложению

которое, конечно, выполнено с той же вероятностью (см. рис. 4.6.1). Это имеет место для всех точек в интервале при любом значении . Из этого следует, что если случайная величина приняла значение у, то 95%-ным доверительным интервалом для служит

Нижний предел определяется из условия

где — гамма-распределенная случайная величина, имеющая параметр формы Значение выбрано так, чтобы служило верхней -критической точкой.

Верхний предел определяется из условия

т. е. — такое значение параметра, при котором служит нижней -критической точкой.

Для заданного например можно найти значения из таблиц или графически, как на более подробном варианте рис. 4.6.1, построенном по точкам табл. 4.6.1 [см. рис. 4.6.2]. Из графика видно, что наблюденное значение (отвечающее значению несмещенной оценки для X) порождает 95%-ный доверительный интервал (2,3, 11,7) для и 95%-ный доверительный интервал (0,23, 1,77) для X. (Область между верхним и нижним графиком называют доверительной полосой.)

Интуитивный подход, который обсуждался перед примером 4.3.1, здесь заключается в рассмотрении нескольких характерных типичных плотностей гамма-распределения, соответствующих разным значениям , как показано на рис. 4.6.3. Весьма малое значение величины на графике (1) и большое значение на графике (3) представляются неправдоподобными в том смысле, что в каждом случае наблюдаемое значение статистики лежит в области малых значений плотности вероятности; в то же время сочетается со значением у, так как у лежит в зоне больших значений этой плотности. Границы между «правдоподобными» и «неправдоподобными» значениями могут быть приняты, как и ранее, равными так, чтобы (как показано на рис. 4.6.4)

(кликните для просмотра скана)

Для мы находим используя тот факт, что — число степеней свободы такого распределения хи-квадрат, квантиль уровня 0,025 которого равна 12, а число степеней свободы такого распределения хи-квадрат, квантиль уровня 0,975 которого равна 12. Из таблиц распределения [см. приложение 6] получаем, что лежит между 23 и 24, а - между 4 и 5. Интерполяция дает значения что согласуется с результатом, полученным ранее.