5.4. КРИТЕРИИ ДЛЯ СЛОЖНЫХ НУЛЕВЫХ ГИПОТЕЗ

В предыдущем разделе обсуждались примеры, относящиеся к таким ситуациям, когда для заданной вероятностной модели нулевая гипотеза полностью определяла «нулевое распределение», или «распределение при нулевой гипотезе». Но обычно встречаются примеры, в которых это неверно. Тогда говорят, что нулевая гипотеза — сложная. Подобные ситуации возникают как для однопараметрических, так и для многопараметрических моделей. Примером первого типа служит сравнение биномиальных частот, когда при нулевой гипотезе параметры биномиальных распределений равны. Примером нулевой гипотезы в многопараметрической ситуации служит такая: математическое ожидание нормального распределения равно нулю, а стандартное отклонение неизвестно и при гипотезе не уточняется (пример «мешающего параметра»).

5.4.1. УСЛОВНЫЕ КРИТЕРИИ: РАВЕНСТВО БИНОМИАЛЬНЫХ ЧАСТОТ; ОТНОШЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПУАССОНА

Стандартный способ, позволяющий преодолеть связанные со сложной нулевой гипотезой затруднения, состоит в том, чтобы работать с подходящей версией условного нулевого распределения. Лучше всего пояснить это примерами.

Пример 5.4.1. Критерий равенства биномиальных частот При изучении зависимости вероятности появления ребенка мужского пола от возраста матери было отмечено, что в выборке из новорожденных у матерей в возрасте от 20 до 25 лет оказалось мальчиков, тогда как в выборке объема где возраст матери был заключен между 30 и 35 годами, число мальчиков составило с разделом 5.2.1, в)]. За основу возьмем вероятностную модель, описываемую распределением [см. II, раздел 5.2.2] для мальчиков, родившихся от более молодых матерей, и независимо [см. II, § 6.6] от них — распределение для остальных, так что плотность совместного выборочного распределения в точке равна

При нулевой гипотезе т. е. при (обозначим это общее значение эта плотность принимает вид

Понятно, что будет достаточной статистикой для [см. пример 3.4.1], так что условное совместное распределение х и у при заданном значении не зависит от На самом деле условная плотность равна

где случайная величина индуцирована статистикой 5.

Поскольку (при Н) случайная величина подчинена распределению имеем

откуда

Здесь так что на самом деле получается одномерное распределение, которое можно представить в виде

Свободное от параметра (гипергеометрическое [см. II, раздел 5.3]) распределение и будет требуемой условной версией нулевого распределения. Полезно отметить, что оно описывает вероятность получить х дефектных изделий в выборке объема извлеченной без возвращения из совокупности, содержащей дефектных и недефектных изделий. Таблицы гипергеометрического распределения доступны [см., например, Liebermann and Owen (1961)-G].

Биномиальное приближение. Гипергеометрическое распределение зависит от трех параметров: и так что обычно таблицы оказываются громоздкими. Если 5 мало по сравнению с то вероятности не будут очень сильно отличаться от получаемых результатов для выборки с возвращением, так что в такой ситуации можно приблизить величиной — вероятностью с параметром т. е.

если только

Эти вероятности можно легко вычислить с помощью рекуррентных отношений

либо получить из сравнительно компактных биномиальных таблиц [см. приложение 1].

Примером, когда биномиальное приближение (5.4.2) не применимо к гипергеометрическому распределению (5.4.1), может служить ситуация, при которой Значения представлены в табл. 5.4.1.

Значение лежит на верхнем хвосте, и вероятность столь же или более критических в этом направлении значений составляет Используя «упорядочение по вероятности», как в разделе 5.2.1, п. е), можно видеть, что вероятность столь же или более критических, но в противоположном направлении (на нижнем хвосте), как значений представляет собой сумму так как — наибольшее из нижних значений, не превышающее Приведенная нижняя «хвостовая» сумма равна 0,0276. Поэтому уровень значимости составляет

Получена довольно большая вероятность, откуда следует, что результаты не значимы, т. е. данные не опровергают нулевую гипотезу относительно равенства

Таблица 5.4.1 Значения

(Полная масса отлична от 1,0000 из-за ошибок округления.)

Пример 5.4.2. Критерий для проверки равенства параметров распределений Пуассона. Как и в предыдущем примере, нулевая гипотеза утверждает, что неизвестные параметры двух распределений Пуассона равны, и оказывается сложной, так что для ее проверки можно использовать условное нулевое распределение.

Предположим, что получены наблюдения пуассоновской случайной величины X [см. II, раздел 5.4) и другой пуассоновской величины Пусть — соответствующие неизвестные параметры. Нужно проверить нулевую гипотезу, что (их общее значение обозначим в). Для принятой вероятностной модели плотность совместного выборочного распределения данных в точке задается формулой

Нулевая гипотеза

проверяется против альтернативы Теперь мы должны выбрать статистику критерия [ср. с разделом 5.2.1, г)]. В данном случае она будет двумерной. Поскольку

достаточные статистики [см. раздел 3.4] для данные можно сократить и рассмотреть статистики

В результате совместное распределение данных можно заменить более простым, но эквивалентным выборочным распределением Поскольку эти величины представляют собой суммы пуассоновских случайных величин, то они также подчиняются распределению Пуассона [см. табл. 2. 4.1] с параметрами соответственно. Их совместное распределение имеет в точке плотность

При нулевой гипотезе эта плотность (плотность нулевого распределения) принимает вид

Теперь перейдем к условному распределению. Заметим, что служит достаточной статистикой для в при нулевом распределении, откуда свободное от параметра условное распределение 5, и при заданном значении можно найти так:

Поскольку (при Н) статистика подчиняется распределению Пуассона с параметром условное нулевое совместное распределение и имеет вид

На самом деле это распределение будет одномерным, так как плотность можно записать в виде

Это — распределение с известным параметром Чтобы проверить значимость относительно нулевой гипотезы, нужно убедиться, лежит ли в имеющей относительно высокую вероятность области или же попадает в одну из двух маловероятных областей (т. е. лежит на одном из хвостов). Когда верно первое положение, можно считать, что данные согласованы с нулевой гипотезой если же оно не выполняется, то гипотеза в той или иной степени отвергается. Процедура в точности совпадает с описанной в разделе 5.2.1.

Предположим, например, что данные х — это количество радиоактивных частиц, испущенных образцом А в интервалах времени, каждый из которых продолжительностью в 10 секунд. Данные у получены аналогично в интервалах времени для образца В, причем

Условная выборочная плотность в точке при нулевой гипотезе равна

причем Значение лежит на нижнем хвосте этого распределения. Поскольку распределение не очень асимметрично, двухсторонний уровень значимости, вычисленный с помощью упорядочения по вероятности, будет примерно равен определенному с помощью упорядочения по расстоянию с разделом 5.2.1, е)], откуда

(так как значения 15 и 25 находятся на одинаковом расстоянии от ожидаемого значения Применяя таблицы биномиального распределения при находим

Данные не значимы. Нулевая гипотеза не отклоняется.

Пример 5.4.3. Проверка гипотезы об отношении параметров распределений Пуассона. Использованные в примере 5.4.2 принципы применимы и для проверки согласия данных с гипотезой, что параметры двух пуассоновских распределений относятся как Если нулевая гипотеза есть

или, что эквивалентно,

где — заданный множитель, то нулевое распределение (5.4.3) примет вид

т. е. статистика подчиняется пуассоновскому распределению с параметром а условное совместное распределение (5.4.4) станет таким:

и сведется к выражению

Например, для данных (5.4.6) из примера 5.4.2 при имеем Уровень значимости равен

так как точки 15 и 35 расположены на одинаковом расстоянии от ожидаемого значения так что

Эта вероятность очень мала; данные обладают высокой значимостью, а гипотеза безусловно отклоняется.

(Выбирать подходящую нулевую гипотезу следует так: в рассмотренном примере данные подсказывают, что составляет примерно половину от Если бы мы оценивали методом наибольшего правдоподобия [см. раздел 3.5.4 и пример 6.3.3], то получили бы , откуда так уж сложно, приглядевшись к данным, заметить, что а на этой основе сформулировать гипотезу, что и проверить ее. Понятно, что результат проверки оказался бы «незначимым», т. е. в настоящих условиях оказывается, что данные согласуются с той гипотезой, которая и выдвинута самими данными. Можно было бы сказать, что данные согласуются с той гипотезой, которая согласуется с данными, но нельзя прийти к какому-то более глубокому суждению. Аналогично после тщательной проверки данных можно было бы выдвинуть не согласующуюся с ними гипотезу. Ситуация существенно отличается от той, при которой нулевая гипотеза выдвигается до проверки данных, поскольку в этом случае согласие или несогласие данных с гипотезой приводит к реальным выводам, из которых можно почерпнуть что-либо новое.

Из сказанного можно заключить, что при проверке значимости нулевую гипотезу следует формулировать независимо от используемых при ее проверке данных.)