3.4.2. КРИТЕРИЙ ФАКТОРИЗАЦИИ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ СЕМЕЙСТВО

В примерах 3.4.1, 3.4.2 и 3.4.3 показано прямое применение определения достаточности. Более прост подход с использованием критерия факторизации, который позволяет немедленно ответить на вопрос о существовании достаточной статистики. Этот критерий состоит в следующем.

Теорема 3.4.1. Критерий факторизации для достаточности.

Пусть — выборочная п.р.в. наблюдений

Статистика достаточна для в тогда и только тогда, когда может быть разложена в произведение вида

где сомножитель не зависит от . (В частности, может быть постоянным.)

Пример 3.4.4. Критерий факторизации и распределение Бернулли. В примере 3.4.1. совместное распределение данных имеет п.р.в.

(с заменой в (3.4.1) на в). Это выражение того же вида, что и (3.4.4), . Следовательно, достаточна для .

Для данных примера 3.4.2 совместная п.р.в. в точке равна:

что также имеет форму (3.4.4), если в ней положить

Пример 3.4.5. Критерий факторизации и нормальное распределение. Для выборки в точке равна:

где

Отсюда следует, что статистика достаточна для .

Подобным образом для нормального распределения с получаем, что откуда — достаточная статистика для дисперсии в (а следовательно, и для стандартного отклонения

Пример 3.4.6. Критерий факторизации и гамма-распределение. Для однопараметрического гамма-распределения [см. II, раздел 11.3] с параметром формы , для которого п.р.в. в точке х равна

получаем

Здесь разложение на множители (3.4.1) достигнуто для достаточной статистики для в. 1

В теореме 3.4.1 не требовалось, чтобы были наблюдениями над независимыми и одинаково распределенными переменными. Для однопараметрических распределений, однако, обычно рассматривается ситуация, когда образуют случайную выборку из общего однопараметрического распределения, как в примерах 3.4.4, 3.4.5 и 3.4.6. При таких обстоятельствах и слабых ограничениях распределение, обладающее достаточной статистикой, должно принадлежать к экспоненциальному семейству распределений, определяемому следующим образом.

Определение 3.4.2. Экспоненциальное семейство. Однопараметрическое экспоненциальное семейство (или класс экспоненциального типа) одномерных распределений имеет в следующую

где — произвольные функции указанных аргументов, ограниченные только тем, что — плотность распределения, т. е. должна быть неотрицательна и нормализована. (Этот класс иногда называют классом Дармуа—Питмана—Купманса.)

При применении критерия факторизации из теоремы 3.4.1 к (3.4.5) можно увидеть, что распределение выборки можно записать в форме произведения:

откуда статистика достаточна для .

Если к тому же несмещенная оценка , то она удовлетворяет неравенству Крамера—Рао (3.3.5) [см. (3.3.8)]. Оценка в таком случае несмещенная, эффективная и достаточная.

Примером экспоненциального семейства могут служить п.р.в. однопараметрического гамма-распределения с параметром формы [см. пример 3.4.6]:

что имеет вид (3.4.5) с Достаточная статистика есть или любая функция от нее в соответствии с примером 3.4.6, где установлено, что статистика достаточна для в.

В приведенных выше примерах рассмотрены биномиальное и отрицательное распределения.

Пример 3.4.6 а. Биномиальное распределение как член экспоненциального семейства. Если X — число успехов в фиксированном количестве испытаний Бернулли с вероятностью успеха , то п.р.в. X в точке равна:

откуда

Это выражение имеет форму (3.4.5) с

Поэтому биномиальное распределение входит в экспоненциальное семейство, и статистика достаточна для [см. пример 3.4.4].

Пример 3.4.6, б. Отрицательное биномиальное распределение принадлежит экспоненциальному семейству. Если по контрасту с ситуацией из примера 3.4.6 а, — число испытаний Бернулли (0), требующееся для достижения фиксированного числа х успехов, то имеет отрицательное биномиальное распределение, для которого

(ср. с примером 3.3.0). Здесь

и снова мы видим, сравнивая с (3.4.5), что плотность распределения вероятности принадлежит экспоненциальному семейству и — достаточная статистика для .

Пример 3.4.6 в. Влияние усечения. Положим, что X — пуассоновская переменная с параметром и что в выборке наблюдений X значение встретилось раз, Вероятность получения такой выборки равна:

Поскольку это произведение имеет вид (3.4.4), где

и

то (сумма всех к наблюдавшихся значений) достаточна для .

Теперь предположим, что нулевые значения были ненаблюдаемы, возможно, из-за ошибок эксперимента или неприспособленности оборудования; тогда X имеет усеченное пуассоновское распределение раздел 6.7] с отсутствующим нулевым классом [см. II, пример 6.7.2]. Плотность распределения вероятности в точке в этом случае будет равна:

Вероятность выборки равна:

что также имеет вид произведения (3.4.4) с (та же статистика, что и для неусеченного случая), Следовательно, достаточна для .

Этот последний пример иллюстрирует общий результат об усечении X (непрерывной или дискретной) с п.р.в. и достаточной статистикой для в. Оказывается, если наблюдаемы лишь значения X, удовлетворяющие условию то у усеченного распределения тоже есть достаточная статистика для в. Действительно, поскольку принадлежит к экспоненциальному семейству (3.4.5), усеченную п.р.в. можно представить в виде

где

и, таким образом,

где

Следовательно, тоже принадлежит экспоненциальному семейству и имеет достаточную статистику для .