Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.2.1. ДВУХСТОРОННИЙ БИНОМИАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ. СОСТАВНЫЕ ЧАСТИ, ПРОЦЕДУРА И ИНТЕРПРЕТАЦИЯВ следующем примере описан простой критерий, иллюстрирующий общий подход и основные понятия. В частности, вводятся ключевые понятия области значимости и уровня значимости. Рассмотрим исследование, в котором проводится сравнение частоты рождения мальчиков в индейских семьях английского города, в котором значительную долю населения составляют выходцы из Вест-Индии. Средняя частота по Великобритании составляет 52%. Исходные данные представляют собой упорядоченный по датам список всех новорожденных в индейских семьях за исследуемый год. а) Вероятностная модель. Выбор подходящей вероятностной модели — это первый шаг при построении критерия. Мы примем простейшую возможную модель, а именно такую, когда рождения считаются взаимно независимыми испытаниями Бернулли [см. II, раздел 5.2.1], каждое из которых с одной и той же вероятностью, скажем Для формального описания модели пусть
а совместное распределение данных описывается формулой
б) Сокращение данных. Статистика критерия. Работать одновременно с численность мальчиков. Ее выборочное распределение, т. е. распределение соответствующей случайной величины В, реализацией которой и оказывается
в) Нулевая гипотеза, нулевое распределение. Нужно ответить на вопрос: отличается ли величина
Совместное распределение величин
Нулевое распределение статистики критерия получится, если взять (5.2.1) при отвечающем нулевой гипотезе значении
в нашем случае при В основе критерия лежит такая идея: если нулевая гипотеза и данные согласованы с довольно высокой степенью правдоподобия (в определяемом ниже смысле), то мы считаем, что она подтверждается данными; в противном же случае мы считаем, что гипотеза не согласована с данными, т. е. данные значимо отклоняются от гипотезы. То, что понимается под выражением «достаточно (или недостаточно) высокая степень правдоподобия», обсуждается ниже в п. д) и е). В настоящем примере нулевая гипотеза оказывается простой: при ней значение параметра становится точно известным. (В пример входит только один параметр. При построении более «хитрых» критериев могли бы встретиться несколько параметров [см. раздел 8.3.3]. Тогда нулевая гипотеза называется простой, если она определяет значение всех параметров.) Приведем пример критерия, для которого нулевая гипотеза сложная. Среди г) Альтернативная гипотеза. Цель критерия в том, чтобы усмотреть, можно ли считать данные согласованными с нулевой гипотезой или же они настолько сильно расходятся с ней, что даже опровергают ее. При этом важно знать, какое расхождение считать умеренным. В настоящем примере против Н можно выдвинуть так называемую альтернативную гипотезу вида
Таким образом, гипотеза Н отвергается для тех данных, в которых доля мальчиков существенно выше или существенно ниже, чем 0,52. В этом случае критерий называют двусторонним. (Пример одностороннего критерия приведен в разделе 5.2.3.) д) Согласованность выборки с гипотезой Н. Исходный вопрос о согласованности Представленное здесь рассуждение — это обычное доказательство от противного в аристотелевой логике. В соответствии с ней, если из А следует В, то из не-В следует не-А для произвольных высказываний А и В. Статистический вариант этого принципа таков: если В — вероятностное следствие А, то не-А будет вероятностным следствием не-В. Возьмем в качестве суждения А высказывание «Н верна», а в качестве суждения В — «наблюденное значение е) Области значимости, уровень значимости (вероятность значимости). Критическая область. Есть немало привлекательных подходов к определению значимости данного значения будет мала, каково бы ни было значение
Так определенный уровень значимости называют еще вероятностью значимости выборок, чтобы отличить от близкого понятия, используемого при подходе Неймана—Пирсона. Этот подход к проверке гипотез связан с теорией принятия решений. Он излагается в разделе 5.12. Общая концепция, которую мы будем развивать, состоит в том, что выборка согласуется с нулевой гипотезой Н, когда вероятность значимости в определенном смысле велика, и не согласуется, когда эта вероятность мала [см. раздел 5.2.2]. Критическая область. Следует отметить, что специалисты по прикладной статистике часто не определяют область значимости и уровень значимости, отвечающий их данным. Вместо этою они находят условное множество значимости, которое при фактических наблюдениях имеет довольно низкий уровень значимости а (например, Этот подход будет подробнее изложен в разделе 5.12. Какие значения будут не менее крайними, чем множество на «верхнем хвосте»? Иначе говоря, как можно определить, что наблюдение Упорядочение по расстоянию. При таком подходе «большое» значение
так что уровень значимости наблюдения
Участвующие в этом вычислении точки распределения В показаны на рис. 5.2.1. Таким образом, если среди 20 новорожденных оказалось 5 мальчиков,
(см. рис. 5.2.1). Из таблиц биномиального распределения [см. Приложение Упорядочение по вероятности. Предположим вначале, что наблюдение
Может, однако, случиться, что при таком возможном значении
Рис. 5.2.1. При гипотезе Н случайная величина В подчиняется биномиальному распределению с параметрами (20, 0,52), так что Поэтому 15 — слишком малое, а 16 - слишком большое из возможных значений
В рассматриваемом примере это приводит к значению Порожденная наблюдением
а уровень значимости наблюдения
В нашем примере, когда из 20 новорожденных только 5 мальчиков, уровень значимости составляет
(Описанная процедура применима, когда наблюдение В этом примере величина
Рис. 5.2.2. Часть биномиального распределения вероятностей с параметрами (20, 0,52), для которой Упорядочение с помощью отношения правдоподобия. Для статистики критерия
В нашем случае
а гипотеза Н состоит в том, что
Когда
Отношение
называется статистикой отношения правдоподобия. Ее значение для нашего примера равно
При произвольном значении
так что, когда
При основанном на отношении правдоподобия упорядочении значение
откуда область значимости — это
а уровень значимости равен
(Это придает точную форму той мысли, что ожидаемое значение X должно быть большим, т. е. близким к единице, когда гипотеза Н верна, и малым, если Н неверна.) Для удобства вычислений
и в этом случае областью значимости служит множество
В нашем примере возможные значения
Наблюденное значение
Уровень значимости составляет
Область значимости совпала с полученной при упорядочении по вероятности, а потому и критерий имеет тот же уровень значимости, т. е. 0,023. Это типичное явление для простых критериев такого вида. На самом деле метод отношения правдоподобия рассчитан на более сложные ситуации, в особенности на содержащие более одного параметра [см. раздел 5.5]. ж) Интерпретация уровня значимости. Степень доверия. В нашем числовом примере (5 из 20 новорожденных — мальчики) мы нашли, что (5.2.2), в силу которой доля мальчиков среди всех выбранных новорожденных равна среднему по Великобритании значению 0,52? Если мы скажем, что это во многом — вопрос соглашения, наш ответ, возможно, вызовет разочарование. Однако на интуитивном уровне можно применить следующие рассуждения [см. раздел 5.3]. Если нулевая гипотеза Н верна, то неправдоподобно, что полученное значение статистики критерия заметно отличается от ожидаемого значения. Но, конечно, даже когда гипотеза Н верна, может оказаться, что в каком-то частном случае статистика критерия заметно отличается от своего математического ожидания; при этом уровень значимости будет мал. Однако и вероятность такого события тоже невелика. На самом деле при любом
Поэтому только в одном случае из тысячи значение Если бы численность мальчиков составила для выборки 7, то основанный на подходе «равных расстояний» уровень значимости
Столь большое значение з) Степень недоверия. Отметим, что чем меньшее значение
Близкий к нулю уровень значимости интерпретируется как близость степени недоверия к 1, т. е. как очень сильный довод против Н. Близкий же к единице уровень значимости показывает, что степень недоверия близка к нулю, т. е. доводы против Н слабы, что фактически указывает на согласие выборки с нулевой гипотезой.
|
1 |
Оглавление
|