2.8. НЕЦЕНТРАЛЬНЫЕ ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2.8.1. НЕЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ХИ-КВАДРАТ

Пусть

где — нормальная переменная взаимно независимы. Распределение называется нецентральным распределением хи-квадрат с степенями свободы и с параметром нецентральности

Если то это распределение сводится к обычному (центральному) распределению хи-квадрат [см. раздел 2.5.4, а)]. Альтернативное представление имеет вид

где — независимые стандартные нормальные переменные. Частный случай, когда может быть представлен в виде

где — стандартное нормальное распределение. Параметр нецентральности

К фундаментальным свойствам этого распределения относятся следующие:

3) производящая функция моментов равняется:

4) п.р.в. в точке есть

где распределения Пуассона с параметром X в точке [см. II, раздел 5.4], и

где

такая, что центрального распределения хи-квадрат с степенями свободы [см. II, раздел 11.4.11];

5) если независимые нецентральные переменные степенями свободы и с параметрами нецентральности X и X" соответственно, то также нецентральная переменная степенями свободы и параметром нецентральности

Наиболее важное применение это распределение находит при рассмотрении функции мощности (или функции чувствительности) критериев дисперсионного анализа [см. раздел 5.3.1]. Дополнительную информацию по этому поводу можно найти в работе [Graybill (1976), гл. 4]. Таблицы нецентрального распределения хи-квадрат приведены в работе [Harter and Owen (1970), т. 1-G].