2.5.8. НЕЗАВИСИМОСТЬ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ. ТЕОРЕМА ФИШЕРА—КОКРЕНА. ТЕОРЕМА КРЕЙГА

При дисперсионном анализе, о котором говорилось в разделе 2.5.6 (а также в гл. 8 и 10), часто необходимо установить, будут ли определенные суммы квадратов взаимно независимыми. Главный критерий дает следующая теорема, известная как теорема Кокрена, или как теорема Фишера—Кокрена.

Теорема 2.5.3 (теорема Фишера—Кокрена). Пусть — независимые стандартные нормальные величины. Пусть — неотрицательные квадратичные формы от переменных с рангами соответственно [см. I, раздел 5.6], такие, что

будут взаимно независимыми -переменными тогда и только тогда, когда

В этом случае имеет степеней свободы,

Далее приводятся две другие полезные теоремы.

Теорема 2.5.4. В обозначениях теоремы 2.5.3 предположим, что

где переменная с — переменная с неотрицательными значениями. Тогда имеет распределение и независима от

Теорема 2.5.5. В обозначениях теоремы 2.5.3 предположим, что неотрицательные квадратичные формы от переменных такие, что

причем и распределены как соответственно. Тогда распределена как и независима от

Пример 2.5.2. Ортогональное разложение Рассмотрим следующее алгебраическое тождество для независимых стандартных нормальных переменных

Ясно, что квадратичные формы неотрицательны. Очевидно, что ранг равен 1, а ранг Отсюда на основании теоремы 2.5.3 следует, что и — взаимно независимые -переменные соответственно. (Этот результат был установлен в примере 2.5.1.)

Иначе говоря, можно утверждать (причем в более простой форме), что, — нормальная переменная с параметрами переменная будет стандартной нормальной. Откуда получим, что - -переменная с 1 с.с. Применение результатов теоремы

2.5.4 к указанному выше тождеству приводит к выводу, что — переменная, имеющая распределение Соответствующий результат для н.о.р. нормальных случайных величин с параметрами основан на тождестве

или, скажем,

Здесь -переменная с -переменная с откуда, согласно теореме, — переменная с распределением независимая от Этот результат важен для проверки значимости среднего выборки с помощью -критерия Стьюдента [см. раздел 5.8.2].

Пример 2.5.3. Сравнение двух средних. Тождество

требуется для применения критерия Стьюдента при сравнении средних двух независимых выборок [см. раздел 5.8.4], скажем и из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой дисперсией но, возможно, с неравными ожидаемыми значениями. В приведенном выше тождестве

Записав тождество в виде

легко увидеть, что суть -переменные с числом степеней свободы

Отсюда следует, что не зависят друг от друга.

Приведенные выше теоремы полезны в случаях, когда квадратичная форма расщепляется на две или более квадратичные формы. Когда же этого нет, например, когда просто даются две квадратичные формы и возникает вопрос, являются ли они независимыми, главную роль может играть следующая теорема.

Теорема 2.5.6. Теорема Крейга. Пусть и — квадратичные формы от независимых нормальных переменных с параметрами причем соответствует матрица — матрица В. Случайные величины взаимно независимы тогда и только тогда, когда

Пример 2.5.4. Независимость Пусть — случайная выборка из нормального распределения с параметрами (и,о). Установленную в примере 2.5.2 выборочную независимость можно продемонстрировать с помощью теоремы 2.5.6: рассмотрим квадратичные формы в которых, как обычно, — случайная переменная, индуцированная индуцированная х. Матрица А для имеет вид , а для матрица (I — единичная матрица, ). Тогда (так как ), откуда следует, что взаимно независимы. Предположим, что нас интересует, зависимы или нет линейная форма Построим квадратичную форму для которой матрица А равна Как и раньше, матрица В для равна Тогда (где ).

Элемент в этой матрице равен Он отличен от нуля для всех за исключением случая, когда для всех , т.е. когда

пропорционально выборочному среднему X. Таким образом, X не просто независима от (или линейная форма, пропорциональная X) оказывается единственной линейной формой от которая не зависит от Например, в выборке объема 3 сумма независима от суммы квадратов выборки однако линейная комбинация этим свойством не обладает.