Нулевая гипотеза 
теперь предполагается простой и утверждающей, что векторный параметр 
распределения выборки принимает значение 
. С ней конкурирует альтернативная гипотеза 
согласно которой в принимает значения в некотором подмножестве 12 (выделенном из множества 12). Как в разделе 5.3, выбирается статистика критерия 
Соответствующая случайная величина обозначается 
так что 
служит реализацией 
. В отличие от приведенного в разделе 5.3 рассуждения, основанного на «области принятия» 
с уровнем значимости
определяемым наблюденной статистикой 
в теории 
применяется подходящим образом выбранное подмножество 
пространства наблюдений, называемое критической областью и обладающее свойством
где 
— наперед заданное постоянное число (например, 
называемое уровнем значимости или размером критерия (либо размером критической области). Если значение 
случайной величины X попало в эту наперед заданную критическую область, то нулевая гипотеза отклоняется, а альтернатива принимается. В противном случае 
принимается, а альтернатива отклоняется. Как и область значимости из раздела 5.3, критическая область выбирается так, чтобы приписываемая ей при 
вероятность была малой, а при 
— большой, если значение в достаточно удалено от 
.
наперед заданный уровень значимости. Его также называют ошибкой первого рода. Аналогично определим
Величина 
называется ошибкой второго рода, отвечающей значению параметра в. При данном а функция 
называется функцией мощности уровня а для критерия. Как отмечено в разделе 5.3, она принимает те же значения, что и введенная там функция чувствительности 
, хотя их интерпретации различны. При описанном в разделе 5.3 подходе к проверке гипотез цель (статистического) критерия понимается как измерение силы обеспечиваемого статистикой довода против 
чтобы статистик мог выдвинуть предварительное суждение о том, можно ли верить в гипотезу 
. С другой стороны, подход 
состоит в принятии решения — отклонить или не отклонить нулевую гипотезу. При изложенном в разделе 5.3 подходе уровень значимости оказывается функцией от наблюденной статистики (скажем, 
Тогда естественно сравнивать значения функции 
при различных 9, но при фиксированной величине 
— при фактически наблюденной величине 
. В теории 
уровень значимости а (размер критерия) заранее фиксирован (скажем, равен 
или 
а мы вычисляем функцию мощности 
при разных в и при одном заданном значении а.
Для иллюстрации рассмотрим тот же пример, что и в разделе 5.3, — когда вероятностной моделью процесса выбора служит распределение 
а статистика критерия представляет собой среднее х из 
выборочных значений. Возьмем одностороннюю альтернативную гипотезу
в качестве критической области примем верхний хвост выборочного распределения X при 
состоящий из всех таких значений х, для которых
где
Тогда эта величина равна
откуда
Функция мощности равна
т. е. совпадает с функцией чувствительности (5.3.7). График этой функции представлен на рис. 5.12.2.
Более предпочтительным из двух критериев размера 
при значении параметра 
считается тот, у которого мощность в точке 
выше. Критерий, мощность которого превосходит мощности всех прочих критериев того же размера при любых значениях 
из 
называется равномерно наиболее мощным (критерием).
Может показаться, что теория 
обладает серьезным преимуществом перед подходом, рассмотренным в разделе 
она позволяет найти вероятность ложного заключения, т. е. ошибочного отклонения 
как функцию от истинного значения параметра 
Однако при этом требуется признание теории полностью, при котором уровень значимости определяется априори, а нулевая гипотеза отклоняется или принимается не на основе полученных данных или фактического значения статистики критерия, а в зависимости от того, попало ли вообще наблюденное значение в заданную критическую область. Конечно, при некоторых условиях так действовать можно. Но для большинства критериев статистическая практика состоит в подтверждении результатов эксперимента, для чего определяют уровень значимости найденного значения статистики, как в разделе 5.3, и дополнительно используют величину как меру силы довода против 
Рис. 5.12.2. Функция мощности одностороннего критерия уровня а
Такая процедура согласуется со следующей модификацией канонического варианта теории 
вместо того чтобы работать с единственной критической областью 
фиксированного размера а (например, 
учитывается совокупность вложенных друг в друга критических областей различных размеров, например всех возможных между 0,001 и 0,10; пусть 
обозначает размер критической области, последней, которая содержит полученное значение статистики критерия, т. е. такой, что это значение лежит в 
при но не попадает в 
при 
. Тогда 
«точно» отклоняется на уровне 
эквивалентно это можно выразить, сказав, что статистика имеет уровень значимости 
в смысле, который подразумевался в разделе 5.3. Если выражение «гипотеза 
отклоняется на уровне 
интерпретировать как «вероятность получить уровень значимости (или 
если бы гипотеза 
была верна, равна 
можно считать мерой силы довода против нулевой гипотезы.
Лемма Неймана—Пирсона. Жемчужиной теории 
считают лемму Неймана—Пирсона, согласно которой оптимальный критерий проверки простой нулевой гипотезы 
против простой альтернативы 
представляет собой критерий отношения правдоподобия, рассмотренный в разделе 5.2. Оптимальность критерия понимается в том смысле, что ее мощность в точке 
не менее чем 
любого другого возможного критерия.
Сложные гипотезы. Выше приведена простейшая схема теории 
. В действительности же эта теория имеет большие ответвления. Она позволяет работать со сложными гипотезами и оперировать специальными средствами, называемыми рандомизированными критериями, которые дают возможность рассматривать дискретные вероятностные модели как объекты общей теории.
5.13. ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ
(см. скан)
проверки гипотез используются понятия повторного процесса решения «принять или отклонить», похожего на описанный в разделе 5.12.1. Как и в разделе 5.3, вектор данных 
получают из семейства индексированных векторным параметром 
распределений; причем это семейство образует вероятностную модель, с помощью которой описывается выборочная процедура.
