2.9. ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ (МУЛЬТИНОМИАЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В ТЕОРИИ ВЫБОРОЧНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
2.9.1. БИНОМИАЛЬНОЕ, ТРИНОМИАЛЬНОЕ И МУЛЬТИНОМИАЛЬНОЕ (ПОРЯДКА m) РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1) Биномиальное распределение. Простым испытанием Бернулли считается статистический эксперимент, в котором возможны два исхода
(часто называемые успехом и неудачей). Пусть
где
Важной случайной переменной оказывается полное число
появлений
независимых испытаниях; может возникнуть интерес к полному числу
появлений
Достаточно обсудить только одну из этих переменных, так как
Распределение
Иногда предпочитают более симметричную запись:
Отметим, что появление двух символов
в (2.9.1) не означает, что мы должны рассматривать это выражение как двумерную функцию. Формула дает нам одномерную вероятность того, что
при этом
и или одномерную вероятность события
при этом
2) Триномиальное распределение. Очевидно, что при испытаниях, для которых возможны три исхода
с
и
совместное распределение
полного числа появлений событий
при
независимых испытаниях будет обобщением (2.9.1), а именно
Это дает выражения двумерных вероятностей
при этом
или,
при этом
или, что аналогично,
3) Полиномиальное (мультиномиальное) распределение (порядка
Теперь предположим, что существует
возможных исходов испытания, назовем их
и пусть
причем
Пусть
обозначает полное число появлений исхода
независимых испытаниях,
Тогда совместное распределение
будет иметь вид
Это дает
или
с
Таким образом, (2.9.3) задает вид распределения вероятностей любых
из
случайных переменных
для которых
Оно называется полиномиальным распределением (порядка
с индексом
и параметрами вероятности
. Полиномиальное распределение с
— биномиальное, с
— триномиальное и т. д.