2.9. ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ (МУЛЬТИНОМИАЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В ТЕОРИИ ВЫБОРОЧНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

2.9.1. БИНОМИАЛЬНОЕ, ТРИНОМИАЛЬНОЕ И МУЛЬТИНОМИАЛЬНОЕ (ПОРЯДКА m) РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1) Биномиальное распределение. Простым испытанием Бернулли считается статистический эксперимент, в котором возможны два исхода (часто называемые успехом и неудачей). Пусть

где

Важной случайной переменной оказывается полное число появлений независимых испытаниях; может возникнуть интерес к полному числу появлений Достаточно обсудить только одну из этих переменных, так как

Распределение

Иногда предпочитают более симметричную запись:

Отметим, что появление двух символов в (2.9.1) не означает, что мы должны рассматривать это выражение как двумерную функцию. Формула дает нам одномерную вероятность того, что

при этом и или одномерную вероятность события при этом

2) Триномиальное распределение. Очевидно, что при испытаниях, для которых возможны три исхода с

и

совместное распределение полного числа появлений событий при независимых испытаниях будет обобщением (2.9.1), а именно

Это дает выражения двумерных вероятностей при этом или, при этом или, что аналогично,

3) Полиномиальное (мультиномиальное) распределение (порядка Теперь предположим, что существует возможных исходов испытания, назовем их и пусть

причем

Пусть обозначает полное число появлений исхода независимых испытаниях, Тогда совместное распределение будет иметь вид

Это дает

или

с

Таким образом, (2.9.3) задает вид распределения вероятностей любых из случайных переменных для которых Оно называется полиномиальным распределением (порядка с индексом и параметрами вероятности . Полиномиальное распределение с — биномиальное, с — триномиальное и т. д.