6.7.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ДАННЫЕ И ГРУППИРОВКА. ПОПРАВКА ШЕППАРДА

Наблюдения непрерывных случайных величин могут быть представлены в естественном виде, т. е. так, «как они наблюдаются», или в виде таблицы частот. Итак, допустим, что п.р.в. генеральной совокупности, из которой происходит выборка, равна . Если наблюдения фиксируются с достаточно высокой степенью точности, их можно считать реализацией непрерывной случайной величины. Их совместная выборочная плотность, в точке при условии независимости наблюдений равна . На практике же точность регистрации наблюдений всегда конечна, поэтому, например, выражение «значение наблюдения равно в действительности соответствует неравенству , а элемент функции правдоподобия в, отвечающий этому наблюдению, будет равен не , а

где генеральной совокупности.

Допуская, что выборка из непрерывного распределения записывается в виде таблицы частот, обозначим частоту ячейки через Обозначим п.р.в. случайной величины X в точке х через , а ее ф.р. — через .

Если предположить, что данные получены из дискретного распределения с частотой наблюдения равной то функция правдоподобия будет

а ее логарифм равен:

Оценка максимального правдоподобия является корнем уравнения

Если же считать, что в действительности исходная совокупность непрерывна, то (правильная) функция правдоподобия имеет вид

Она должна быть максимизирована с привлечением некоторого численного алгоритма. Однако если достаточно мало, например то, опуская члены начиная с в разложении по Тейлору, получим

где штрихи означают дифференцирование по Тогда

и с той же степенью приближения

Например, если исходное распределение является нормальным с параметрами , то, рассматривая в качестве в параметр мы получим

Таким образом, группированной оценкой будет

Уравнение правдоподобия, основанное на подправленной п.р.в., сведется к

откуда подправленная о.м.п. будет равна Как видим, здесь оценки совпали:

Теперь рассмотрим помимо параметра группированную оценку для . Имеем

Приравнивая это выражение к нулю и решая его в системе с уравнением для получаем

где

Отсюда следует, что группированной оценкой для будет

Подправленное уравнение правдоподобия сводится к

где — группированный четвертый выборочный момент, равный Если мы далее аппроксимируем это уравнение, заменяя на их соответствующие выборочные моменты, то при с принятой степенью точности (с точностью до членов получаем

Таким образом, подправленная о.м.п. дисперсии исходной совокупности получается из оценки дисперсий по группированным данным с поправкой на , где — ширина интервала группировки. (Это известно как поправка Шеппарда.)

6.8. ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)