4.1.3. ИНТЕРВАЛЫ ВЕРОЯТНОСТИ

а) Интервалы вероятности для непрерывных случайных величин. Полная информация о проведении случайной величины X может быть получена только при известном законе ее распределения [см. II, разделы 4.3, 10.1]. Часто необходим более простой способ выражения изменчивости. Удобным обобщающим понятием является интервал вероятности, определенный следующим образом.

Определение 4.1.1. Пусть X имеет нейрерывное распределение, зависящее от известного параметра (или нескольких таких параметров), и пусть — такие числа, что для заданного

или, иначе говоря,

где — плотность и функция распределения величины X соответственно. Тогда интервал (который зависит от

Рис. 4.1.3. Интервал вероятностный интервал распределения, плотность которого задана графиком. Он является центральным -ным интервалом, если площади под графиком левее а и правее равны между собой (и равны )

называется интервалом вероятности уровня или иначе -ным интервалом вероятности для X. (Отметим, что так как X — непрерывная случайная величина, определение не изменится, если выражение будет заменено на любое из

Об интервале можно сказать, что он содержит часть всего распределения в том смысле, что при большом числе испытаний часть чисел выборки будет попадать в него. Это утверждение иллюстрирует рис. 4.1.3 для унимодального распределения.

Смысл утверждения, подсказанный интуицией, заключается в том, что если велико (скажем, 0,95 или 0,99), то можно быть «почти уверенным», что любая реализация X попадет в интервал Здесь — любые числа, такие, что — функция распределения X).

Если X — дискретная случайная величина, то такие вообще говоря, не могут быть определены точно, поэтому необходима соответствующая модификация определения (см. пример 4.1.3].

Пример 4.1.2. Интервалы вероятности для стандартного нормального распределения. Если (т.е. ), то вероятностный интервал для уровня 0,95 — это любой интервал такой, что

где — функция стандартного нормального распределения. Примеры таких интервалов, полученных из таблиц [см. приложение 3, 4], следующие:

Соответствующие интервалы для

Как видно из этих примеров, уровень интервалов вероятности однозначно не определяет их границ. Чтобы достигнуть однозначности, необходимо ввести дополнительные ограничения, а именно: 1) либо

интервал должен иметь минимальную длину, 2) либо он должен быть центральным или симметричным в том смысле, что

Для симметричного унимодального распределения [см. II, раздел 10.1.13] эти условия эквивалентны. В случае унимодального несимметричного распределения можно определить наименьший вероятностный интервал с помощью условия равных ординат, т. е. для данного Р вероятностный интервал будет кратчайшим, когда , где — плотность распределения X. Таблицы плотностей распределения часто недоступны (в отличие от таблиц функций распределения), и поэтому приходится работать непосредственно с условием симметричности. В этом случае для вероятностного интервала уровня значения для примера 4.1.1 можно найти как нижнюю и верхнюю точки распределения X.

Пример 4.1.3. Вероятностные интервалы для Т-образного распределения. Экспоненциальное (показательное) распределение с плотностью при [см. II, раздел 10.2.3] имеет монотонно убывающую плотность, и следовательно, условие равных ординат здесь не применим о. Ясно, впрочем, что в этом случае для любого кратчайшим вероятностным интервалом уровня будет интервал где выбирается из условия что с учетом равенства дает . Таким образом, кратчайшим 95%-ным вероятностным интервалом будет . Симметричным вероятностным интервалом уровня 0,95 будет интервал где для выполняются соотношения

откуда

б) Вероятностные интервалы для дискретных случайных величин. Для непрерывной случайной величины X интервал будет интервалом вероятности уровня если

или, что равносильно,

Это действительно одно и то же, так как в непрерывном случае Однако это, вообще говоря, перестает быть верным при дискретном X. Возьмем, к примеру, в качестве X величину, распределенную по пуассоновскому закону. Пусть — положительные целые числа. Тогда , что очевидно, Чтобы избежать неопределенности, в дискретном случае мы будем называть замкнутым интервалом вероятности и уровня для X, если

(Иногда для случайных величии, принимающих целые значения, удобнее говорить об открытых интервалах для которых

Более серьезное осложнение для дискретных величин состоит в том, что хотя для данных всегда можно вычислить отнюдь не для любого можно найти соответствующий вероятностный интервал , а тем более центральный вероятностный интервал, для которого

Самое большое, что здесь можно сделать — это найти «почти симметричный» вероятностный интервал уровня не меньше как можно более близкого к . Для замкнутого вероятностного

Рис. 4.1.4. (см. скан) Приближенный квазицентральный 95%-ный вероятностный интервал биномиального (20,0,4) распределений

интервала этого вида с мы находим из таблиц распределения значение такое, что

при

а значение такое, что

при

Тогда

Необходимо иметь в виду, что иногда таблицы дают значения вероятностей вида (так построены, например, таблицы биномиального распределения в приложении 1). Диаграмма типа изображенной на рис. 4.1.4 поможет разобраться в ситуации. Для иллюстрируемого случая (биномиальное распределение с квазисимметричный интервал уровня не менее 95% на самом деле является интервалом уровня 96,2%.