4.13.2. ПРАВДОПОДОБНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ИНТЕРВАЛЫ ПРАВДОПОДОБИЯ

а) Одинаково правдоподобные значения . Два значения для которых

рассматриваются при данных значениях как одинаково правдоподобные (или одинаково неправдоподобные) приближения к неизвестному истинному значению для дискретных данных равенство правдоподобий эквивалентно равенству

Следовательно, вероятность получения именно тех значений, которые наблюдались, если истинное значение есть равна вероятности получения этих значений, если истинное значение есть [см. на рис. 4.13.1].

Эту аргументацию, оправдывающую рассмотрение значений как одинаково правдоподобных, можно распространить с помощью предельного перехода и на случай непрерывных

б) Одно из значений более правдоподобно, чем другие. Если

то значение рассматривается в свете данных как более правдоподобное, чем , приближение к неизвестному значению , поскольку вероятность (или плотность вероятности) данных значений наблюдаемых величин будет больше при истинном значении 6, равном чем при Таким образом [см. рис. 4.13.1], более правдоподобно, чем , а более правдоподобно, чем При таком способе рассуждений наиболее правдоподобным будет значение Это оценка наибольшего правдоподобия [см. гл. 6].

в) Недостаточно правдоподобные значения . Интервалы правдоподобия. Подход, развитый в предыдущих разделах, наводит на мысль, что значение , такое, что отношение лишь немногим меньше единицы, является не намного менее правдоподобным, чем в то время как значение , для которого много меньше единицы, является, соответственно, много менее правдоподобным, чем Мы можем, например, по соглашению установить следующий критерий неправдоподобия: любое значение , такое, что

будем считать неправдоподобным с уровнем правдоподобия 10%. Аналогично и для уровня правдоподобия 12,5% и т. д. Интервал такой, что

будет рассматриваться как интервал, внутри которого с уровнем правдоподобия 10% любое значение будет считаться правдоподобным приближением к неизвестному истинному значению . Для большей аккуратности введем следующее определение.

Определение 4.13.2. Интервалы правдоподобия (один параметр). Для данных совместное выборочное распределение которых зависит от единственного параметра обозначим функцию правдоподобия через Если существуют такие значения что

для

то интервал называется -ным интервалом правдоподобия для данной выборки (аналогично для интервалов других процентных уровней).

Если мы работаем с логарифмической функцией правдоподобия, важно заметить, что достигают своих максимальных значений в одной точке . В терминах логарифмической функции правдоподобия концы и -интервала правдоподобия представляют собой корни уравнения

Отметим, что в случае дискретной величины, распределение которой зависит от параметра, пробегающего континуум, как, например, Пуассоновское распределение, вычисление интервалов правдоподобия не вызывает тех трудностей, которые возникают при вычислении доверительных интервалов. Это показано в примере 4.13.3.

Пример 4.13.3. Интервал правдоподобия для параметра распределения Пуассона. В примере 4.13.1 функция правдоподобия выражалась как

где

Границы -ного интервала правдоподобия есть корни уравнения

Например, если придется решать уравнение

или, взяв логарифмы,

т. е.

Корни (полученные приближенно) есть 1,5 и 3,6. Таким образом, для данной выборки наиболее правдоподобным значением будет 2,4. Любые значения в интервале (1,5 и 3,6) рассматриваются по соглашению как правдоподобные, а любые значения вне него — как неправдоподобные (уровня 10%).

Не все функции правдоподобия имеют горизонтальную касательную в точке максимума и не для всех существуют два значения удовлетворяющие условиям определения 4.13.2. Рассмотрим пример.

Пример 4.13.4. Функция правдоподобия для семейства равномерных распределений. Предположим, что X распределена равномерно на интервале , так что плотность распределения X есть

Для выборки функцией правдрподобия будет

т. е.

Здесь есть наибольшее наблюденное значение. График этой функции показан на рис. 4.13.2. В этом примере правдоподобие достигает максимума когда в точке, где кривая не имеет горизонтальной касательной.

В таком случае мы положим и определим (для уровня 10%) из уравнения

т. е.

Рис. 4.13.2. (см. скан) Функция правдоподобия для верхней границы равномерного распределения

Рис. 4.13.3. (см. скан) Логарифмическая функция правдоподобия из примера 4.13.4

Например, если то

Для количественного выражения интервалов правдоподобия не нужна глубоко разработанная теория выборочных расследований, подобная той, которая требуется для доверительных интервалов. В следующем примере показано, что в некоторых случаях количественное определение доверительных интервалов связано со значительными вычислительными трудностями.

Пример 4.13.5. Пуассоновское распределение без нулевого значения. Пусть X имеет усеченное пуассоновское распределение без нулевого значения, так что его п.р.в. есть

[см. II, раздел 6.7]. Функция правдоподобия пропорциональна

где — сумма значений X. (Это достаточная статистика для В [см. раздел 3.1].) Несколько минут несложных вычислений на карманном калькуляторе дадут таблицу значений логарифма величины (4.13.5), с помощью которой легко построить график логарифмической функции правдоподобия. Таблица 4.13.1 и рис. 4.13.3 иллюстрируют ситуацию, когда Видно, что и что 10%-ный интервал правдоподобия для В есть (0,99, 2,39).

Таблица 4.13.1 (см. скан)

г) Интервалы правдоподобия для В и Из свойства инвариантности [см. пример 4.13.2] следует, что если есть -ный интервал правдоподобия для В при данных наблюдениях, то -ным интервалом правдоподобия для величины при тех же наблюдениях будет где (Здесь — любая взаимно однозначная функция .) Так, если в примере 4.13.2 10%-ный интервал правдоподобия для среднеквадратического отклонения а есть (1,2, 2,2), то соответствующий интервал для дисперсии есть (1,44, 4,84).