4.12. ТОЛЕРАНТНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ

Задачей, во многом близкой к нахождению доверительных интервалов, является построение границ, между которыми лежит определенная доля (например, 0,99) генеральной совокупности. Такое утверждение, естественно, может быть сделано лишь с вероятностью где или 0,99 и т. д. Например, исходя из выборки измерений роста мужчин (данные предполагаются нормально распределенными) необходимо указать числа при которых рост 99% мужчин не меньше и не больше (с вероятностью 0,95). Такие границы называют толерантными пределами [см. Wilks (1961) — С].

Чтобы как-то сформулировать сказанное, определим -ные толерантные пределы для нормальной величины с уровнем вероятности . Если бы и а были известны, мы могли бы найти центральный интервал содержащий часть вероятности. Границы а, и удовлетворяют уравнению

где означает плотность распределения в точке х.

Можно извлечь из таблиц нормального распределения. Например, если то

Если же и а неизвестны, лучшее, что можно сделать, основываясь на выборке это заменить на где, как всегда, — константа, которую необходимо определить. Конечно, нельзя утверждать, что

так как — статистики. Они являются реализациями случайных величин где — случайные величины, соответствующие х и s. Утверждение (4.12.2) должно рассматриваться как реализация соотношения

Теория толерантных интервалов предполагает схожие соотношения

Нельзя гарантировать полную истинность этого соотношения, однако можно требовать, чтобы оно выполнялось с предписанной вероятностью, скажем, :

Если мы сможем найти X для (4.12.3), то интервал будет -ным толерантным интервалом уровня вероятности

Такие значения X действительно могут быть найдены. Существуют таблицы значений X для различных значений и объемов выборки.