2.5.9. РАЗМАХ И СТЬЮДЕНТИЗИРОВАННЫЙ РАЗМАХ

Размахом выборки наблюдений над случайной переменной X называется разность между наибольшим наблюдением и наименьшим наблюдением с разделом 14.3]. Пусть обозначают случайные переменные, порождаемые тогда размах индуцирует случайную переменную

Если, например, X распределена равномерно в области то п.р.в. R в точке равна:

с ожидаемым значением

[см. II, раздел 15.5].

В приложениях математической статистики размах используется для оценки разброса в малых выборках. В случае выборки объема в два наблюдения размах в точности эквивалентен по информационному содержанию стандартному отклонению выборки. Когда

поэтому стандартное отклонение равняется точно таким образом, можно считать оценкой Для выборок объема больше 2, но не превышающего 10 или 12 наблюдений, размах оказывается хотя и не эффективной [см. определение 3.3.5 и пример 3.3.10], но вполне приемлемой оценкой для произведения стандартного отклонения о с известным множителем генеральной совокупности [см., например, Hald (1957), гл. 12 — С]. При увеличении объема выборки относительная эффективность оценки уменьшается, и ею не рекомендуется пользоваться, когда объем выборки превышает 12 [см. Davies (1957) — С]. Для нормальных выборок существуют таблицы выборочного распределения так называемого стандартизованного коэффициента размаха [см. например, Hald (1952) или Owen (1962) — С].

Стьюдентизированный размах. Для образования стандартизованного коэффициента размаха из обычного размаха выборки надо знать стандартное отклонение а генеральной совокупности. Когда неизвестно (это бывает чаще всего), предлагается заменить его подходящей оценкой. Если в распределении имеется статистика которая не зависит от и такая, что распределена по закону , то подходящей оценкой о будет величина а статистика

называется стьюдентизированным размахом [ср. с определением 2.5.1]. Стьюдентизированный размах необходим при построении по методу Тьюки совместных доверительных интервалов для нескольких параметров [см. Graybill (1976), табл. Т7].