1.4. СОГЛАШЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Мы завершаем эту главу замечаниями, касающимися обозначений и других соглашений, которые используются в Справочнике. Некоторые из них стандартны, другие же требуют пояснения.

1.4.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОГЛАШЕНИЯ

Логарифм: если не оговорено другое, всегда означает натуральный логарифм, логарифм по основанию е.

Символ принадлежности к множеству: означает, что х — элемент множества (набора класса) [см. I, раздел 1.1].

Символ О: мы часто имеем дело со статистиками [см. определение

2.1.1], скажем определенными по выборке объема некоторые свойства которой могут быть выражены в виде где — некоторая функция, а — ошибка, которая изчезает с ростом Выражение например, означает, что имеет тот же порядок, что и для больших значений ведет себя, приблизительно как для некоторой константы а. Аналогичный смысл имеет выражение [см. IV, определение 2.3.3].

1.4.2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

1. Сокращения

ф. р. — (кумулятивная) функция распределения [см. И, разделы 4.3.2, 10.3].

— распределение как в означает, что X и имеют общее распределение.

с. с. — степени свободы [см. раздел 2.5.4].

н. о. р. — независимые и одинаково распределенные, как в н. о. р. величины .

п. р. в. — функция плотности распределения вероятности, называемая также функцией частот. В этой книге мы используем выражение п. р. в. как для дискретных, так и для непрерывных распределений. Те, кто возражает против термина «плотность» для дискретного распределения, может интерпретировать п. р. в. как точечную функцию распределения [см. II, разделы 4.3.1, 10.1].

с. в. — случайная величина, с. п. — случайная переменная [см. II, гл. 4].

~ (тильда) — распределено как. Итак, означает, что распределение X есть нормальное с параметрами и ст. Некоторые читатели могут быть настроены против этого обозначения, потому что тильда используется в других разделах математики, например, для обозначения отношения эквивалентности [см. I, раздел 1.3.3], а также асимптотической эквивалентности [см. IV, определение 2.3.2]. Для других же удобство такого обозначения перевешивает возражения.

2. Обозначения стандартных распределений

Bernoulli — распределение Бернулли с параметром (вероятностью) успеха , т. е. распределение с.в. R с п.р.в.

[см. II, раздел 5.2.1].

— распределение для которой

[см. II, раздел 5.2.2].

— распределение

Здесь а называют параметром масштаба, а — параметром формы [см. II, раздел 11.3.1].

MVN — многомерное нормальное распределение [см. II, раздел 13.4].

— нормальное распределение с ожидаемым значением и стандартным отклонением а. (Дисперсия есть ). Некоторые авторы используют поэтому обозначения или [См. II, 11.4.]

— распределение для которой

[см. II, раздел 5.4].

— распределение задаваемой для каждого х как

[см. II, раздел 10.7.1].

3. Соглашение об использовании прописных букв для обозначения случайных величин

Мы будем придерживаться следующей системы обозначений: прописные латинские буквы обозначают случайные переменные, а соответствующие строчные латинские буквы — их реализации (наблюденные значения). Итак, мы говорим о совокупности наблюдений над с.в. X. В то же время иногда допустимы отклонения от этого правила, например использование как имени соответствующего распределения.

Строгая приверженность к соглашениям — признак педантичности, и профессиональные статистики не всегда беспокоятся по этому поводу. Однако учащимся и тем, кто еще не стал специалистом, мы рекомендуем их придерживаться.

4. Обозначения для моментов и связанных с ними величин

Мы используем символ для обозначения математического ожидания (ожидаемого значения) или [см. II, гл. 8]. Применяются также варианты . Наше сокращение для дисперсии X есть ; широко используются также символы Для стандартного отклонения X мы используем , для ковариации X и , для коэффициента корреляции между X и а для асимметрии [см. II., гл. 9].

5. Нестандартные обозначения: индуцированные случайные величины, статистические копии

Совокупность взаимно независимых наблюдений случайной величины X (т.е. выборку) можно рассматривать и как совокупность, составленную из наблюдения х, над некоторой случайной величиной наблюдения над некоторой случайной величиной и т.д., где считаются статистическими копиями X. Это значит, что они независимы и распределены одинаково, так же как распределена случайная величина X:

Утверждение есть реализация наблюденное значение) может быть обращено. Итак, «X есть случайная величина, индуцированная означает, что выборочное распределение [см. гл. 2] х есть distr. Так, статистика (среднее значение выборки), которая принимает некоторое определенное численное значение для данной выборки, имеет выборочное распределение, которое может быть получено с помощью стандартных процедур из общего распределения , а случайная величина, вероятностное распределение которой совпадает с этим выборочным распределением, является случайной величиной, индуцированной Естественно обозначить ее символом , где — статистические копии X.

Говорить о выборочном распределении некоторой статистики, имея в виду вероятностное распределение соответствующей индуцированной случайной величины, столь же педантично по отношению к сказанному выше, сколь и использование различий в обозначениях между случайной величиной X и ее реализацией в обоих случаях целью является ясность изложения.

6. Два смысла обозначения вероятность А при условии К

Один смысл есть «условная вероятность предложения (события) А при условии, что предложение В истинно» [см. II, раздел 6.5]. Тогда обе вероятности имеют смысл.

Однако мы часто используем в смысле «вероятность предложения А, вычисленная в предположениях Н», обычно сокращая это до «вероятность А при Н», где Н является гипотезой. Например, пусть А — предложение нормально распределенная случайная величина где значение неизвестно и Н есть гипотеза, что

Еще одна неоднозначность возникает при использовании выражений или где случайная величина, распределение которой зависит от неизвестного параметра означает вероятность получить значение в качестве наблюдения. Эта выроятность зависит от параметра в. То же относится и к выражениям и т.д. На практике обычно ясно из контекста, какой смысл подразумевается.

7. Номенклатура для табличных значений: процентные точки

В статистической практике часто необходимы таблицы функций различных вероятностных распределений. Для некоторых наиболее употребительных распределений доступны таблицы, которые можно назвать прямыми. Например, в приложении 3 приведена обычная таблица функции стандартного нормального интеграла (стандартной функции нормального распределения), а в приложении 5 — аналогичная таблица для функции распределения Стьюдента. Однако с целью экономии места таблицы даны в обратной форме. Так, для стандартного нормального распределения таблицы обратной формы содержат значения и в зависимости от Ф (вместо в зависимости от ), т.е. дается значение такое, что как, например, в приложении 4.

Для случайной величины значение такое, что

называют верхней -процентной точкой распределения величину такую что

называют нижней процентной точкой; при этом

Выражение «процентные точки» без уточнения «верхние» или «нижние» обычно означает «верхние процентные точки».

Процентные точки используются, например, в наиболее доступных таблицах распределения Стьюдента (но не в приведенных в Справочнике), а также в таблицах и -распределений [см. приложения 6,7].

Нижние процентные точки иногда называют квантилями (фрактилями). Специальный случай — нижний и верхний квартили, которые являются соответственно 25%-ным и 75%-ным квантилями; медиана же есть 50%-ная точка.

1.5. ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)