5.3.3. ФУНКЦИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДВУХСТОРОННЕГО КРИТЕРИЯ

В разделе 5.3.1 применительно к выборке из совокупности обсуждался вопрос о значимости среднего выборки х в связи с нулевой гипотезой когда альтернативой была односторонняя гипотеза

Если бы при альтернативе параметр мог бы принимать значения как так и то мы имели бы двухсторонний критерий. Так что теперь мы предполагаем, что альтернатива на самом деле двухсторонняя. В таком случае отвечающая (5.3.3) статистика уровня значимости равна

X нормальна с параметрами

Функция выборочного распределения при — это

где — индуцированная случайная величина, т. е.

Таким образом,

(считая величину х (для определенности) положительной)

(так как нормальна с параметрами

Аналогичный результат был получен в разделе 5.3.1 для одностороннего критерия: когда нулевая гипотеза верна, уровень значимости имеет равномерное на выборочное распределение.

Выборочное распределение, когда параметр не обязательно принимает нулевое значение, следующее:

поскольку при случайная величина нормальна с параметрами . Если теперь, как при односторонней альтернативе, зафиксировать значение т. е. взять такое при котором справедливо соотношение (5.3.11), так что

и

то функция примет вид

Рис. 5.3.2. Функции чувствительности для двухстороннего критерия

Это соотношение представляет собой аналог (5.3.8) для двухстороннего критерия. График зависимости от 0 при фиксированном приведен на рис. 5.3.2. Он показывает, что вероятность получить сильные доводы против гипотезы когда возрастает при увеличении Анализ ситуации, когда дисперсия исходного распределения неизвестна, можно, как и в разделе 5.3.2, провести с помощью нецентрального распределения Стьюдента.

[При заданном уровне функция чувствительности принимает те же значения, что и обсуждаемая в разделе 5.10 функция мощности, но они интерпретируются по-разному.]