6.6.2. ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ
Пороговым уровнем токсичности ротенона для насекомых Масгоsiphoniella Sanborni удобно назвать тот уровень дозировки инсектицида, при котором погибает 50% всех насекомых. Грубо это значение можно определить графически из рис. 6.6.1. Приблизительно оно
Рис. 6.6.3. Процент погибших насекомых на вероятностной бумаге, по оси абсцисс — логарифм дозы
равно 4,8. Для получения более точной оценки необходимо обратиться к данным табл. 6.6.1. На основе этих данных можно не только построить оценку порогового уровня, но и найти точность (надежность) этой оценки. Для этого необходимо предложить соответствующую вероятностную модель и оценить ее параметры. Описание такой модели и ее анализ содержатся в оставшейся части раздела
6.6, при этом изложение следует книге [Finney (1971)].
Вероятностная модель состоит из двух гипотез (частей). Первая достаточно очевидна.
1. При данной дозе инсектицида поражается определенная доля 
всей совокупности насекомых; в выборке 
насекомых реакция на инсектицид одних насекомых не зависит от реакции других. Таким образом, можно считать, что число пораженных является случайной переменной и подчинено биномиальному закону с параметрами 
[см. II, раздел 5.2.2].
Вторая часть модели менее очевидна. В ней задается формула зависимости вероятности 
от дозы 
Рассмотрим рис. 6.6.2, на котором по оси абсцисс откладываются значения не самих доз, а их логарифмы. Нарисованная кривая очень напоминает функцию нормального распределения. Это сходство может быть проверено нанесением данных на вероятностную бумагу [см. раздел 3.3.2, г)]. При этом масштаб выбирается таким образом, чтобы точки с нормальным распределением легли на прямую линию [см. раздел 2.7.4]. На рис.
6.6.3 видно, что наши данные действительно достаточно хорошо ложатся на прямую линию, проведенную «на глаз». Таким образом, вторая часть вероятностей модели выглядит следующим образом.
2. В терминах «измерителя» дозы
вероятность того, что случайно отобранное из совокупности насекомое погибнет за данное время, равна:
где 
— параметры нормального распределения [см. II, раздел 11.4.6]. В нашей задаче более удобно ввести другие параметры:
В примере 7.4.2 гипотеза об адекватности описания данных моделью (6.6.1) проверяется по критерию 
Замечание к обозначениям. Значение а 
определяется единственным образом по значению 
Например, из таблиц нормального распределения находим, что 
Таким образом, значение а 
соответствует 
Эта операция может быть записана с помощью обратной функции как 
Значение 1,96 называют квантилью уровня 0,975 стандартного нормального распределения. В последнее время исследователи, применяющие этот метод, предпочитают избегать отрицательных чисел, чего можно добиться, добавляя 5 к значению квантили, поскольку квантили меньше —5 почти никогда не встречаются на практике. Модифицированное таким образом значение называется пробитом. Следующие утверждения эквивалентны:
(В последующем описании пробиты не используются.)
Можно было бы предложить и другие функции распределения в качестве 
Так, вполне подходящим было бы логистическое распределение вида
[см. II, раздел 11.10]. Величина 
определяемая значением функции 
называется в этом случае логитом 
(ср. с пробитом). Разумеется, можно предложить и другие распределения. В задаче исследования зависимости токсичности инсектицида от уровня дозировки число экспериментов не так велико, чтобы можно было обоснованно отличить выбор одного распределения от другого. Нормальное же распределение позволяет получить хорошие результаты подгонки. Кроме того, существуют таблицы нормального распределения. В этой связи достаточно ограничиться выбором одного подходящего распределения. Вот почему можно рассмотреть лишь модель (6.6.1).
