8.3.2. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ

Доверительный интервал для отдельного параметра, скажем можно получить обычным способом, используя распределение Стьюдента [см. пример 4.5.3]. Воспользуемся следующим свойством:

имеет распределение Стьюдента с степенями свободы [см. раздел 2.5.5], где . Отсюда центральный -ный доверительный интервал для есть

где — верхняя — -ная точка распределения Стьюдента с степенями свободы. Для ортогонального плана получится как раз

где есть диагональный элемент матрицы Аналогично центральный -ный доверительный интервал для получается из выражения

Когда же два или несколько параметров рассматриваются вместе, мы должны помнить, что нельзя «перемножать» индивидуальные доверительные интервалы для построения доверительного «ящика», поскольку они не независимы (даже если независимы из-за того, что каждый использует одни и те же остатки [ср. с разделом 4.9]. Приемлемый доверительный интервал для нескольких параметров можно построить следующим образом. Пусть . МНК-оценка для есть . Дисперсионная матрица вектора Ф, которую мы обозначим находится после вычеркивания из матрицы всех строк и столбцов, не включенных в , т. е. мы сохраняем строки (столбцы) Тогда можно показать, что

имеет распределение [см. раздел 2.5.6]. Отсюда с разделом -ный доверительный интервал для равен:

где -верхняя -ная точка -распределения.

В общем такое множество точек определяет -мерный эллипсбид с центром в . А для ортогонального плана это будет -мерная сфера.

Пример 8.3.1. Доверительный интервал для констант силы тяжести из примера 8.2.2. Для этого примера мы нашли:

Поскольку в этом примере то, предполагая нормальное распределение ошибок, мы должны находить 95%-ный доверительный интервал для соответствующих параметров с использованием Получим:

Соблазнительно воспользоваться прямоугольником, определяемым следующим образом:

как доверительным множеством для Однако такой подход состоятелен только для независимых индивидуальных интервалов

(когда доверительный коэффициент для них равен Если же это не так, то мы должны действовать иначе с разделом 4.9.2]. Поскольку дисперсионная матрица вектора равна:

-ный доверительный интервал для получается из

Он задает некоторую эллипсоидальную область в плоскости с центром в точке , размер которой зависит от величины а (большие эллипсы соответствуют малым значениям а).

Пример 8.3.2. Доверительный интервал для регрессии. В предположении, что подобранная в примере 8.2.16 модель в виде полинома второго порядка корректна, можно построить доверительный интервал для истинных средних осадков в каком-нибудь месяце, скажем, в августе. Исходное уравнение таково:

Теперь, поскольку августу соответствует ожидаемые осадки в этом месяце равны:

МНК-оценка для равна:

Вычислив это выражение, получим

Далее, вследствие ортогональности МНК-оценки для некоррелированны, поэтому дисперсия МНК-оценки получается равной

что равно . А так как в данном случае то 95%-ным доверительным интервалом для будет

где — фактическое значение для квадратичной модели. Для отыскания воспользуемся соотношением

которое дает откуда . Тогда вычисленный интервал для есть , т. е. (2,57, 3,09).