Когда же два или несколько параметров рассматриваются вместе, мы должны помнить, что нельзя «перемножать» индивидуальные доверительные интервалы для построения доверительного «ящика», поскольку они не независимы (даже если независимы
из-за того, что каждый использует одни и те же остатки [ср. с разделом 4.9]. Приемлемый доверительный интервал для нескольких параметров
можно построить следующим образом. Пусть
. МНК-оценка для
есть
. Дисперсионная матрица вектора Ф, которую мы обозначим
находится после вычеркивания из матрицы
всех строк и столбцов, не включенных в
, т. е. мы сохраняем строки (столбцы)
Тогда можно показать, что
имеет распределение
[см. раздел 2.5.6]. Отсюда
с разделом
-ный доверительный интервал для
равен:
где
-верхняя
-ная точка
-распределения.
В общем такое множество точек определяет
-мерный эллипсбид с центром в
. А для ортогонального плана это будет
-мерная сфера.
Пример 8.3.1. Доверительный интервал для констант силы тяжести из примера 8.2.2. Для этого примера мы нашли:
Поскольку в этом примере
то, предполагая нормальное распределение ошибок, мы должны находить 95%-ный доверительный интервал для соответствующих параметров с использованием
Получим:
Соблазнительно воспользоваться прямоугольником, определяемым следующим образом:
как доверительным множеством для
Однако такой подход состоятелен только для независимых индивидуальных интервалов
(когда доверительный коэффициент для них равен
Если же это не так, то мы должны действовать иначе
с разделом 4.9.2]. Поскольку дисперсионная матрица вектора
равна:
-ный доверительный интервал для
получается из
Он задает некоторую эллипсоидальную область в плоскости
с центром в точке
, размер которой зависит от величины а (большие эллипсы соответствуют малым значениям а).
Пример 8.3.2. Доверительный интервал для регрессии. В предположении, что подобранная в примере 8.2.16 модель в виде полинома второго порядка корректна, можно построить доверительный интервал для истинных средних осадков в каком-нибудь месяце, скажем, в августе. Исходное уравнение таково:
Теперь, поскольку августу соответствует
ожидаемые осадки в этом месяце равны:
МНК-оценка для
равна:
Вычислив это выражение, получим
Далее, вследствие ортогональности МНК-оценки для
некоррелированны, поэтому дисперсия МНК-оценки
получается равной
что равно
. А так как в данном случае
то 95%-ным доверительным интервалом для
будет
где
— фактическое значение
для квадратичной модели. Для отыскания
воспользуемся соотношением
которое дает
откуда
. Тогда вычисленный интервал для
есть
, т. е. (2,57, 3,09).