2.2. ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ

Выбрав определенную статистику, такую, как среднее выборки (среднее значение наблюдений), и отметив ее значение, мы вынуждены признать, что при повторении процедуры выборки численное значение

этой статистики во второй выборке будет, вероятно, отличаться от ее значения в первой выборке. Последовательность таких повторений породила бы последовательность числовых значений статистики; одни значения встречались бы чаще, другие — реже. Таким образом, мы можем представить совокупность значений вместе с распределением вероятностей среди них. Это и есть выборочное распределение статистики.

В примерах 2.1.1 и 2.1.2 рассматривалась статистика — количество дефектных единиц в выборке. В примере 2.1.2 она трактовалась как реализация (т.е. наблюдение) случайной переменной [см. II, гл. 4], которая имеет распределение [см. II, раздел 5.2.2]. В этом случае число обследованных брусков является числом «испытаний», как это понимается для биномиального распределения, неизвестной долей дефектных изделий в партии.

Статистика является реализацией случайной величины Выборочное распределение статистики оказывается распределением вероятностей (2.1.2) [см. II, раздел 4.3] соответствующей случайной переменной . В примере 2.1.3 рассматривались статистики при этом были реализациями случайной переменной X, распределенной [см. II, раздел 11.4].

С точки зрения обозначений удобно рассматривать как реализацию случайной переменной — как реализацию случайной переменной , наконец, — как реализацию где случайные переменные (т.е. взаимно независимые [см. II, раздел 4.4] и одинаково распределенные переменные). При этом их общее распределение — это распределение исходной случайной переменной X. Взаимная независимость [см. II, определение 4.4.1] наблюдаемых событий обеспеченная процедурой выборки, отражается в предположении взаимной независимости случайных переменных а тот факт, что все наблюдения взяты из одного и того же распределения, отражается в приписывании всем распределения X. О переменной можно говорить как о статистической копии X [см. определение 2.2.1].

Определение 2.2.1. Статистические копии, индуцированные случайные переменные, случайная выборка. Говорят, что случайные переменные будут статистическими копиями заданной случайной переменной X, если взаимно независимы и одинаково распределены, причем их общее распределение совпадает с распределением X. Множество независимых наблюдений переменной X называется случайной выборкой. По соображениям удобства можно считать наблюдением — наблюдением Эти случайные переменные индуцируются (порождаются) наблюдениями Аналогично статистика порождает случайную переменную (Определение, случайной выборки из конечной совокупности можно найти, например, в [II, раздел 5.3].)

В примере 2.1.3, таким образом, статистики могут рассматриваться как реализации индуцированных случайных переменных соответственно и где статистические копии х.

Теперь случайная переменная становится суммой взаимно независимых переменных и поэтому сама оказывается распределенной нормально с математическим ожиданием и стандартным отклонением [см. раздел 2.5.3, а)]. Это распределение будет выборочным распределением статистики Подобным образом выборочным распределением статистики , является распределение индуцированной случайной переменной

В примере 2.1.4 имелось к взаимно независимых случайных переменных распределения которых уже не были одинаковыми. Вместе с наблюдаемыми значениями переменной нас были неслучайные переменные известные точно. Статистика рассматривается как реализация случайной переменной являющейся взвешенной суммой независимых случайных переменных

Выборочным распределением статистики будет распределение вероятностей индуцированной случайной переменной

В этом примере оказывается, что — независимые нормально распределенные случайные переменные с параметрами Отсуда вытекает [см. раздел 2.5.3] нормальность выборочного распределения переменной с ожиданием и дисперсией

В свете этих примеров можно дать формальное определение выборочного распределения.

Определение 2.2.2. Выборочное распределение статистики. Пусть представляют собой собрание данных, в которых для каждого может рассматриваться как реализация случайной переменной Пусть — множество неслучайных переменных, значения которых известны (сюда может входить, например, объем выборки). Пусть рассматриваемой статистикой будет

Выборочным распределением этой статистики называют распределение вероятностей индуцированной случайной переменной

В этих выражениях могут быть скалярными или векторными величинами [см. I, разделы 5.1, 5.2]. В последнем случае — векторные случайные переменные [см. II, раздел 13.3.1]. Аналогично переменные могут быть скалярными или векторными. Статистика А

может быть скалярной функцией векторных аргументов или сама может быть вектором. Тогда и выборочное распределение оказывается многомерным распределением вероятностей [см. II, раздел 13.1]). Далее приводятся дополнительные примеры.

Пример 2.2.1. Выборочное среднее. Предположим, что — случайная выборка [см. определение 2.2.1] из распределения Пуассона с параметром В [см. II, раздел 5.4]. Рассмотрим статистику Эта статистика, выборочное среднее, порождает случайную переменную

где — взаимно независимые, одинаково распределенные переменные [см. раздел 1.4], подчиняющиеся распределению Пуассона с параметром Распределение суммы независимых переменных, распределенных как будет следовать [см. II, раздел 7.2], так что

откуда

Эта формула выражает выборочное распределение статистики х.

Пример 2.2.2. Случайная выборка из двумерного распределения. (Выборочное распределение статистики, имеющей векторное значение.) Предположим, что X является двумерной векторной случайной переменной, определяемой выражением где и — одномерные переменные, совместное распределение которых является двумерным нормальным распределением с параметрами [см. II, раздел 13.4.6]. Случайная выборка объема из этого распределения будет состоять из упорядоченных пар представляющих собой независимые реализации пары Статистика где позволяет сделать выводы относительно X и Чтобы обсудить выборочное распределение статистики с векторными значениями, введем индуцированные двумерные случайные переменные являющиеся статистическими копиями X в том смысле, что взаимно независимы и для любого распределены так же, как X. Таким образом, пары будут независимыми всегда, когда к, и для любых будут иметь такое же двумерное нормальное распределение, как и Отсюда следует, что индуцированная случайная переменная имеет двумерное нормальное распределение с Такое же распределение имеет и переменная

Искусственные выборки: имитация. Опубликованные собрания независимых реализаций случайных переменных с определенным распределением обеспечивают возможность создания небольших моделируемых случайных выборок. Когда требуются выборки сравнительно

большого объема, такая процедура становится недостаточной и предпочтение отдается генерированию реализаций с помощью компьютера (моделирование на ЭВМ).

В разделе F списка литературы приведены работы, включающие таблицы случайных чисел, принадлежащих различным распределениям: числа с равномерным распределением см., например, в [RAND Corporation, (1955)]; числа с нормальным распределением см. в [Wold (1954)]; двумерные нормальные пары см. в [Fieller, Lewis and Pearson (1957)]; числа с экспоненциальным распределением см. в [Clark and Holtz (1960)] или в [Barnett (1965)]. Так как сумма чисел, подчиняющихся экспоненциальному закону, имеет гамма-распределение, моделируемые выборки гамма-переменных (и, следовательно, -переменных) можно получить из «случайных чисел», следующих экспоненциальному закону.

Сведения о генерировании случайных реализаций можно найти в книге [Newman and Odell (1971)] (а также в работах, включенных в раздел F списка литературы или в [Abramowitz and Stegun, ed. (1970), section 26.8-D].