Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
8.3. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ ДЛЯ ПЛАНОВ ПОЛНОГО РАНГА
8.3.1. НОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Приведенные выше методы и результаты не зависят от формы распределения ошибок. Однако в большинстве приложений важно не только получить оценки параметров и их стандартных ошибок, но нужно построить еще доверительные области [см. раздел 4.9] и найти методы для проверки гипотез [см. гл. 2], которые представляют интерес.
Имея в виду эти цели, мы теперь предположим, что ошибки имеют нормальное распределение, т. е. при Теперь из предположения, что и некоррелированы, следует их независимость. При этом вектор ошибок становится многомерным нормальным . А с точки зрения самих наблюдений
и
Вектор наблюдений — многомерный нормальный
Отсюда следует, что оценка метода наименьших квадратов тоже имеет многомерное нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсионной матрицей . Остаточная сумма квадратов равна:
А так как то все это сводится к где
Поскольку из теоремы 2.5.1 следует, что имеет распределение хи-квадрат с числом степеней свободы . И линейная комбинация тоже распределена нормально с математическим ожиданием и дисперсией
при 
Теперь из предположения, что 
и 
некоррелированы, следует их независимость. При этом вектор ошибок 
становится многомерным нормальным 
. А с точки зрения самих наблюдений
— многомерный нормальный 
тоже имеет многомерное нормальное распределение с математическим ожиданием 
и дисперсионной матрицей 
. Остаточная сумма квадратов равна:
то все это сводится к 
где
из теоремы 2.5.1 следует, что 
имеет распределение хи-квадрат с числом степеней свободы 
. И линейная комбинация 
тоже распределена нормально с математическим ожиданием 
и дисперсией 
